Umfang und Kreisfläche berechnen
Fläche Kreis
Die Fläche oder der Flächeninhalt von zweidimensionalen Figuren wird in $m^2$ (Quadratmetern) angegeben. Im Gegensatz zu den rechteckigen Figuren, wie zum Beispiel dem Parallelogramm, können wir den Flächeninhalt des Kreises, also die Kreisfläche, nicht einfach berechnen, indem wir die Breite mit der Höhe multiplizieren. Der Kreis hat keine Ecken oder Kanten, auf die sich diese Formel anwenden lassen könnte. Stattdessen müssen wir auf die Eigenschaften zurückgreifen, die uns der Kreis bietet: den Radius. Eine Kreisfläche berechnet sich wie folgt:
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Kreisfläche berechnen
$A=\pi \cdot r^2$
$A=\frac{\pi \cdot d^2}{4}$
Dabei ist:
A = Flächeninhalt
$\pi =$ Kreiszahl $\approx
3,14$
$r$ = Radius
$d$ = Durchmesser
Beispiel
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Ein Kreis hat einen Durchmesser von $10 dm$. Wie groß ist seine Fläche?
Wenn der Kreis einen Durchmesser von $10 dm$ hat, dann beträgt der Radius $5 dm$. Setzen wir dies in die obere Kreisflächen-Formel ein.
$A=\pi \cdot r^2$
$A=\pi \cdot 5dm^2$
$A=\pi \cdot 25dm^2$
$A=\pi \cdot
25\approx 78,54dm^2$
Natürlich hätten wir auch direkt mit dem Durchmesser rechnen können.
$A=\frac{\pi \cdot d^2}{4}$
$A=\frac{\pi \cdot 10dm^2}{4}$
$A=\frac{\pi \cdot 100dm^2}{4}\approx 78,54dm^2$
Umfang Kreis
Der Umfang ist der Weg, den man zurücklegen muss, um einmal um einen geometrischen Körper herumzugehen. Er hat die Einheit m (Meter) und errechnet sich für den Kreis mithilfe des Radius und der Kreiszahl $\pi$.
Merke
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Kreisumfang berechnen
$U=\pi \cdot d$
$U=2\cdot \pi \cdot r$
Dabei ist:
U = Umfang
$\pi =$ Kreiszahl $\approx 3,14$
$r$ = Radius
$d$ = Durchmesser
Beispiel
Beispiel
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Ein Kreis hat einen Durchmesser von $10 dm$. Wie groß ist sein Umfang?
Setzen wir den Wert einfach in die obere Formel für den Umfang vom Kreis ein.
$U=\pi \cdot d$
$U=\pi \cdot 10dm$
$U=\pi \cdot 10dm\approx 31,42dm$
Nun hast du viel über die Berechnung der Fläche eines Kreises erfahren. Teste dein neu erlerntes Wissen zu den Themen Kreisfläche berechnen, Durchmesser berechnen und den Umfang eines Kreises berechnen online mit unseren Übungsaufgaben!
Irgendwie sind mir zu wenig Angaben gegeben, so das ich nicht weiß wie ich vorgehen soll. Undzwar sind in einem Quadrat mit der
Seitenlänge a,2 Kreise mit den Radien r1 und
r2 eingezeichnet. Nun soll ermittelt werden wie groß die Radien der Kreise sind. |
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Hallo, ganz einfach, z. B . : a2=r+3r+r2+3r2 r=a22(1+2) r= kleinerer Radius R=3r= größerer Radius |
kannst du deine antwort, etwas näher erläutern bitte? |
Man stelle sich folgendes vor: 1.) a=d1+d2 r1=18a 2.) (nichteindeutig zuzuordnen) ergo: |
So, ich ahbe mal die Zeichnung hinzugefügt, vielleicht wird es jetzt deutlicher. Es wäre nett, wenn ihr eure rechnung auch etwas erklären könntet. Die einzelnen Schritte, wie ihr auf "darauf" kommt. Danke |
niemand ne Idee? |
siehe bild dann hast du R=3r aus der verhaeltnisangabe 1:3 und mit dem satz des pythagoras ( r+R)2=(a-R-r)2+(a-R-r)2 (r+R)2=2(a-R-r)2 obere gleichung einsetzen (r+3r)2=2(a-3r-r)2 ... ausrechnen... lg |
Hallo, ihr Umstandskramer s.o. Diagonale :a2 Kreis1:r Kreis2:3r Diagonale zwischen beiden Kreisen: 2r2 Quadrat: 2r2 +4r r=a2(2+2) |
R=3⋅r ...für die Diagonale ergibt sich: D=R+r=4r ...damit ist Δy der Kreismittelpunkte: Δy=4r2 =2⋅2⋅r dazu noch r+R, das ist dann a : a=2⋅2⋅r+R+r=2⋅2 ⋅r+4r=(2⋅2+4)⋅r r=a2⋅2+4≈0,1464⋅a R=3⋅a2⋅2 +4≈0,4393⋅a ;-) |
D=R+3r=4r diese Formel beschreibt die Diagonale zwischen den Kreismittelpunkten. Die Diagonale des Quardrates ist a⋅( 2) Woher kommt nun Δy? |
Hossa :-) Was macht ihr denn hier für ein Chaos? Der arme Fragensteller ist bestimmt ähnlich verwirrt wie ich jetzt. Dabei ist die Lösung gar nicht so schwierig. Der Mittelpunkt des großen Kreises hat vom linken Rand des Quadrates den Abstand R und vom unteren Rand des Quadrates den Abstand R, liegt also auf der Diagonalen des Quadrates. Der Mittelpunkt des kleinen Kreises hat vom oberen Rand und vom rechten Rand des Quadrates den Abstand r und liegt daher auch auf der Diagonalen des Quadrates. Die Diagonale d ist daher genauso lang, wie die beiden Durchmesser der Kreise zusammen: d=2R+2r Die Länge d der Diagonalen des Quadrates folgt aus dem Satz des Pythagoras: d2=a2+a2⇒d=2⋅a Also gilt für unsere Kreise: 2R+2r=2⋅a Weiter ist das Verhältnis von r zu R bekannt: rR=13. Daher bietet es sich an, die obige Gleichung auf beiden Seiten durch R zu dividieren und das Verhältnis einzusetzen: 2+2 rR=2⋅aR 2+213 =2⋅aR 83=2⋅aR R=328⋅a Wegen dem Verhältnis rR=13 ist r dreimal kürzer als R, so dass schließlich als Ergebnis herauskommt: R=3 28⋅a;r=28⋅a Viele Grüße DerDepp |
Ich widerspreche nur ungern, aber die Summe der beiden Kreisdurchmesser ist NICHT gleich der Diagonalen des Quadrates. Die Kreise berühren nicht die Eckpunkte des Quadrates. |
Ooops, stimmt auffallend... Asche über mein Haupt... Sorry :( |
Δy ist wie geschrieben der Höhenunterschied (auch der Breitenunterschied) der Mittelpunkte der beiden Keise. Es gilt ja: Δx=Δy=D2 Mit D mein' ich die Diagonale von M1 zu M2,D=R+r=4r somit ergibt sich der vertikale, oder auch der horizontale Abstand beider Mittelpunkte zu: 4⋅r2 ..um bis jeweils an den Rand des Quadrats zu kommen benötine wir nochmals R+r=4r Damit ist dann die Seitenlänge des Quadrats: a=4⋅r2+4r=(4 2+4)⋅r und damit: r=a42+4=a2⋅2+4 ...wie bereits schon beschrieben. ;-) |
Noch eine doofe Frage von mir: wo kommt bei der Formel von Δy der Wert 2 im Nenner her? |
Die Mittelpunkte der beiden Kreise liegen auf der Diagonalen des Quadrats. Schau dir einfach meine Skizze im Anhang an! ;-) |
Vielen Dank Eddi! Jetzt ist der Groschen gefallen. Manchmal dauerts halt ein bischen länger :-) Der Form halber sei erwähnt: in deiner grafischen Darstellung muß im Zähler (blaue Schrift) doch ein kleines r stehen, nicht wahr?! an sonsten ist alles grandios dargestellt. Danke! |
...gut aufgepasst, das zeigt mir, dass du es wirklich verstanden hast. ;-) |
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