Rechenregeln für Brüche
Die Rechenregeln für Brüche kommen immer dann zum Einsatz, wenn es um nicht ganzzahlige Zahlen geht. Es handelt sich dabei um die Menge der rationalen Zahlen. Das ist die Menge aller positiven oder negativen Zahlen, die sich als Quotient (als Bruch) darstellen lassen, wobei sowohl im Zähler als auch im Nenner ganze Zahlen stehen. Brüche können in Dezimalzahlen umgerechnet werden und diese können endlich viele Dezimalstellen oder unendlich viele periodische Dezimalstellen haben. Für die Grundrechnungsarten beim Rechnen mit Brüchen gelten Rechenregeln, wobei speziell zwischen gleichnamigen und ungleichnamigen Brüchen zu unterscheiden ist.
Rangordnung der Grundrechenarten beim Bruchrechnen
Die Reihenfolge, in der man die Rechenregeln anwendet, lautet wie immer:
- Klammern werden zuerst aufgelöst. Innere Klammern werden vor äußeren Klammer berechnet. Innerhalb einer Klammer gilt: Potenzrechnung geht vor Punktrechnung geht vor Strichrechnung
- Potenzrechnung geht vor Punktrechnung geht vor Strichrechnung
Erweitern von Brüchen
Der Wert eines Bruchs bleibt unverändert, wenn man den Zähler und den Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert. Man nennt dies "erweitern" eines Bruchs. Der Grund dafür ist, dass der Wert von diesem Erweiterungsbruch in Wirklichkeit 1, also das neutrale Element der Multiplikation,
ist.
\(\dfrac{Z}{N} = \dfrac{Z}{N} \cdot \dfrac{c}{c} = \dfrac{{Z \cdot c}}{{N \cdot c}}\)
Das Erweitern von Brüchen verwendet man, wenn man ungleichnamige Brüche auf gleichen Nenner bringen möchte
Beispiel:
Addiere die ungleichnamigen Brüche \(\dfrac{1}{2}\) und \(\dfrac{3}{4}\)
Methode 1: Man erweiterte jeden Bruch um den Nenner des jeweils anderen Bruchs, das führt eventuell zu unnötig hohen
Zahlen.
\(\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{{1 \cdot 4}}{{2 \cdot 4}} + \dfrac{{3 \cdot 2}}{{4 \cdot 2}} = \dfrac{4}{8} + \dfrac{6}{8} = \dfrac{{10}}{8}\)
Methode 2: Man bringt Brüche durch Erweitern auf das kleinste gemeinsame Vielfache auf gleichen Nenner.
\(\begin{array}{l} kgV(2;4) = 4\\ \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{{1 \cdot 2}}{{2 \cdot 2}} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{2}{4} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{5}{4} \end{array}\)
Den ersten Bruch muss man mit 2 erweitern, damit der Nenner das kgV beträgt.
Der zweite Bruch hat bereits das kgV als Nenner, daher muss man ihn nicht mehr erweitern.
Kürzen von Brüchen
Der Wert eines Bruchs bleibt unverändert, wenn man den Zähler und den Nenner durch die gleichen Zahl dividiert. Man nennt dies "kürzen eines Bruchs"
Beispiel:
Kürze \(\dfrac{{10}}{8}\)
Wir
suchen die größte Zahl, die Zähler und Nenner ohne Rest teilt
\(\begin{array}{l} ggT(8;10) = 2\\ \dfrac{{10}}{8} = \dfrac{{10:2}}{{8:2}} = \dfrac{5}{4} \end{array}\)
Anmerkung: Gibt es keinen ggT von Zähler und Nenner, so kann man einen Bruch nicht kürzen, man kann ihn aber "ausdividieren" wobei man eine Dezimalzahl mit Nachkommastelle als Resultat erhält.
Bruchteil einer Größe
Man errechnet den Bruchteil eines Gesamtwerts, indem man den Gesamtwert als multiplikativen Faktor in den Zähler schreibt
\(\dfrac{Z}{N}{\text{ von }}x = \dfrac{{Z \cdot x}}{N}\)
Beispiel:
Berechne \(\dfrac{2}{3}{\text{ von 12€ }}\)
\(\dfrac{2}{3}{\text{ von 12€ }} = \dfrac{2}{3} \cdot 12€ = \dfrac{{2 \cdot 12€ }}{3} = \dfrac{{24€ }}{3} = 8€\)
Addition bzw. Subtraktion von gleichnamigen Brüchen
Gleichnamige Brüche haben den gleichen Nenner. Man schreibt die Zähler auf einen gemeinsamen Bruchstrich, danach werden die Zähler addiert / subtrahiert.
\(\dfrac{a}{N} \pm \dfrac{b}{N} = \dfrac{{a \pm b}}{N}\)
Beispiel:
\(\dfrac{4}{{12}} + \dfrac{6}{{12}} = \dfrac{{4 + 6}}{{12}} = \dfrac{{10}}{{12}}\)
Addition bzw. Subtraktion von ungleichnamigen Brüchen
Ungleichnamige Brüche müssen auf gleichen Nenner gebracht werden, ehe dann ihre Zähler addiert / subtrahiert werden.
\(\dfrac{a}{b} \pm \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a \cdot d}}{{bd}} \pm \dfrac{{c \cdot b}}{{db}} = \dfrac{{ad \pm cb}}{{bd}}\)
Beispiel:
\(\dfrac{4}{9} - \dfrac{3}{6} = \dfrac{4}{9} \cdot
\dfrac{2}{2} - \dfrac{3}{6} \cdot \dfrac{3}{3} = \dfrac{8}{{18}} - \dfrac{9}{{18}} = \dfrac{{8 - 9}}{{18}} = - \dfrac{1}{{18}}\)
Brüche auf gleichen Nenner bringen
Brüche mit gleichem Nenner nennt man gleichnamige Brüche. Man bringt mehrere Brüche auf gleichen Nenner, d.h. man macht sie gleichnamig, indem man sie durch Erweitern auf das (vorzugsweise kleinste) gemeinsame Vielfache der jeweiligen Nenner bringt.
- Man bestimmt das kleinste gemeinsame Vielfache aller Nenner, als die kleinste natürliche Zahl, die sowohl ein ganzzahliges Vielfaches des einen als auch aller anderen Nenner ist. Dazu kann man etwa die Primfaktorenzerlegung anwenden. Das kleinste gemeinsame Vielfache der gegebenen Nenner nennt man den Hauptnenner.
- Man erweitert nun die Brüche jeweils so, dass ihr jeweiliger Nenner gleich groß wie der Hauptnenner wird. Dazu multipliziert man Zähler und Nenner mit einem gemeinsamen Faktor, der bei jedem der gegebenen Brüche natürlich unterschiedlich ist.
- Nun kann man alle erweiterten Zähler additiv in den Zähler eines einzigen Bruchs schreiben, dessen Nenner der Hauptnenner ist.
Will man sich die Primfaktorenzerlegung sparen, kann man jeden Bruch mit dem Produkt aus dem Nenner der jeweils anderen Brüche erweitern. Der Hauptnenner ist dann das Produkt aus allen Nennern der Ausgangsbrüche. Der Nachteil dieser Methode, die immer funktioniert ist, dass der Hauptnenner unnötig groß wird und man den so entstehenden Bruch eventuell noch kürzen kann.
\(\dfrac{a}{b} \pm \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a \cdot d}}{{bd}} \pm \dfrac{{c \cdot b}}{{db}} = \dfrac{{ad \pm cb}}{{bd}}\)
Beispiel:
Bringe die beiden Brüche 1/2 und 3/4 auf gleichen Nenner
Man bringt Brüche durch Erweitern auf das kleinste gemeinsame Vielfache auf gleichen Nenner. Wir suchen also das kgV
der beiden Nenner
\(\begin{array}{l} kgV(2,4) = 4\\ \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{2} = \dfrac{2}{4}\\ \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{4} \end{array}\)
Beispiel:
Addiere die beiden Brüche 1/2 und 3/4
\(\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{2} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{2}{4} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{{2 + 3}}{4} = \dfrac{5}{4}\)
Addition bzw. Subtraktion von gemischten Zahlen
Bei gemischten Brüchen werden die ganzen Zahlen und die Brüche getrennt von einander addiert bzw. subtrahiert
\(A\dfrac{b}{c} \pm D\dfrac{e}{f} = \left( {A + \dfrac{b}{c}} \right) \pm \left( {D + \dfrac{e}{f}} \right) = \left( {A \pm D} \right) + \left( {\dfrac{b}{c} \pm \dfrac{e}{f}} \right)\)
Achtung:
\(A + \dfrac{b}{c} = A\dfrac{b}{c} \ne A \cdot \dfrac{b}{c}\)
Beispiel:
\(\begin{array}{l}
2\dfrac{1}{2} + 3\dfrac{1}{3} = \left( {2 + \dfrac{1}{2}} \right) + \left( {3 + \dfrac{1}{3}} \right) = \\ = \left( {2 + 3} \right) + \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}} \right) = 5 + \left( {\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6}} \right) = \\ = 5 + \dfrac{5}{5} = 5\dfrac{5}{6} \end{array}\)
Multiplikation einer ganzen Zahl mit einem Bruch
Bei der Multiplikation einer ganzen Zahl mit einem Bruch kann die ganze Zahl direkt als multiplikativer Faktor in den Zähler geschrieben werden. Ein allfälliges negatives Vorzeichen kann man vor dem Bruch stehen lassen oder zusammen mit dem Faktor in den Zähler schreiben,
Beispiel:
eine negative und eine positive Zahl
\(- 2 \cdot \dfrac{3}{7} = - \dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{3}{7} = - \dfrac{6}{7}\)
Beispiel:
zwei negative Zahlen
\(- 2 \cdot \left( { - \dfrac{3}{7}} \right) = \dfrac{{ - 2}}{1}
\cdot \dfrac{{ - 3}}{7} = \dfrac{{2 \cdot 3}}{7} = \dfrac{6}{7}\)
Multiplikation von Brüchen
Brüche werden multipliziert, indem man (Zähler * Zähler) und (Nenner *Nenner) rechnet.
\(\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a \cdot c}}{{b\cdot d}}\)
\(\dfrac{a}{b} \cdot c = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{1} = \dfrac{{a \cdot c}}{b}\)
Beispiel:
\(\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{{2 \cdot 4}}{{3 \cdot 5}} = \dfrac{8}{{15}}\)
Division von Brüchen
Aus der Division von 2 Brüchen wird eine Multiplikation mit dem Kehrwert vom Divisor, ehe dann, wie bei Multiplikationen üblich (Zähler * Zähler) und (Nenner *Nenner) gerechnet wird.
\(\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} = \dfrac{{a \cdot d}}{{b \cdot c}}\)
Die Division von einem Bruch durch einen anderen Bruch kann man auch als Doppelbruch darstellen. Man löst diesen Doppelbruch gemäß der Regel "äußeres Glied mal äußeres Glied" geteilt durch "inneres Glied mal inneres Glied" auf
\(\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d} = \dfrac{{\dfrac{a}{b}}}{{\dfrac{c}{d}}} = \dfrac{{a \cdot d}}{{b \cdot c}}\)
Besteht der Nenner eines Bruchs aus einer Potenz, so kann man den Bruch auch als Produkt anschreiben, indem man den Zähler mit dem inversen Nenner multipliziert.
\(\dfrac{{{a^r}}}{{{b^s}}} = {a^r} \cdot {b^{ - s}}\)
\(\dfrac{1}{{{a^{ - s}}}} = {a^s}\)
Beispiel:
Teile 3/4 durch 3/2
\(\dfrac{3}{4}:\dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{{3 \cdot 2}}{{4 \cdot 3}} = \dfrac{6}{{12}} = \dfrac{1}{2}\)
Beispiel
Teile 3/4
durch 3
\(\dfrac{3}{4}:3 = \dfrac{3}{4}:\dfrac{3}{1} = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{{3 \cdot 1}}{{4 \cdot 3}} = \dfrac{3}{{12}} = \dfrac{1}{4}\)