Berechnen
Lösungsidee
y= 4x+2 ist eine typische Geradengleichung, allgemein: y = m·x+b. Man spricht auch von einer linearen Funktion. Hier wird ausführlich in Worten erklärt, wie man aus zwei gegebenen Punkten, zum Beispiel (1|6) und (3|15) zur Geradengleichung kommt.
Sonderfall: Geradengleichungen 3D (Vektorrechnung)
Geradengleichungen gibt es auch für dreidimensionale Koordinatensysteme. Das ist hier aber nicht gemeint. In diesem Artikel hier geht es um Geraden in xy-Koordinatensystemen. Für Geraden in 3D-Koordinatenystemem mit x,y und z, siehe unter => Parameterform der Geraden aus zwei Punkten
Lösungsidee für lineare Funktionen (Geradengleichung)
Aus den zwei gegebenen Punkten (2|4) und (10|24) kann man immer eine Geradengleichung der Form y = m·x+b. Das m is die Steigung, das b ist der y-Achsenabschnitt. Zuerste berechnet man die Steigung m. Hat man für die Steigung einen Zahlenwert berechnet, setzt man diesen Zahlenwert zusammen mit einem der beiden Punkte in den Bauplan ein. Die einzige Unbekannte ist dann der y-Achsenabschnitt b. Diesen bestimmt man durch Umformen der Gleichung. Das ist jetzt Schritt-für-Schritt erklärt.
Die gegebenen Punkte interpretieren
◦ P(2|4) meint einen Punkt in einem Koordinatensystem.
◦ P ist der Name des Punktes, man sagt oft "Punkt P".
◦ Die Zahl links ist die => x-Koordinate
◦ Die Zahl rechts ist die => y-Koordinate
◦ Das | ist nur eine => Trennzeichen
Gegeben: zwei Punkte als Zahlenbeispiel
◦ Punkt P(2|4)
◦ Punkt Q(10|24)
Gesucht: y = mx + b
◦ Die Gleichung in Normalform: y = mx + b
◦ b ist der => y-Achsenabschnitt
◦ m ist die => Steigung
Schritt 1: Punktinformation aufschreiben
◦ x-Wert vom ersten Punkt: X1=2
◦ y-Wert vom ersten Punkt: Y1=4
◦ x-Wert vom zweiten Punkt: X2=10
◦ y-Wert vom zweiten Punkt: Y2=24
Schritt 2: Steigung m berechnen
◦ m = (Y2-Y1) durch (X2-X1), kurz:
◦ m=(Y2-Y1)/(X2-X1)
◦ m=(24-4):(10-2)
◦ m=20/8=2,5
Schritt 3: Steigung m in Normalform einsetzen:
◦ Normalform: y = m·x + b
◦ m einsetzen: y=2,5·x+b
Schritt 4: Punkt einsetzen
◦ Man wählt einen der zwei gegebenen Punkte aus.
◦ Es ist egal, welchen der Punkt man wählt.
◦ Den x- und y-Wert dann in die Gleichung einsetzen:
◦ Zum Beispiel Punkt P mit x=2 und y=4:
◦ 4=2,5·2+b
Schritt 5: umstellen nach b
◦ 4=2,5·2+b | vereinfachen
◦ 4=5+b | -5
◦ b=-1
Schritt 5: m und b in Normalform einsetzen
◦ y = 2,5x - 1 ✔
Tipps
◦ Das x und y schreibt man am Ende immer als Variable.
◦ Statt y wird oft auch f(x) geschrieben.
Beispiele
◦ (0|0) und (1|1) ⭢ y = 1x+0 ⭢ y = x
◦ (2|4) und (10|24) ⭢ y = 2,5x-1
◦ (0|-4) und (5|-14) ⭢ y = -2x-4
◦ (2|8) und (6|4) ⭢ y = -x+10
Geradengleichung aus Graph über zwei Punkte [Graphisch] Zwei-Punkte-Form der Geradengleichung [Alternative] Lineare Funktion [Übersicht] Parameterform der Geraden aus zwei Punkten Analysis Aufgaben zu Geradengleichung aus zwei Punkten Übungsblätter zu Geradengleichung aus zwei Punkten Zurück zur Startseite
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Eine Gerade geht durch die beiden Punkte $$A(–2|5)$$ und $$B(3|2,5)$$. Wenn du diese 2 Punkte ins Koordinatensystem einzeichnest, kannst du die Funktionsgleichung bestimmen.
Schritt 1: Zeichne die beiden Punkte in ein Koordinatensystem ein und zeichne die Gerade mit einem Lineal.
Schritt 2: Lies den Schnittpunkt mit der $$y$$-Achse $$(0|b)$$ ab.
Der $$y$$-Achsenabschnittspunkt ist $$(0|4)$$.
Du weißt jetzt schon: $$4$$ ist der zu $$x=0$$ gehörige $$y$$-Wert.
In der Funktionsgleichung ist $$b= 4$$.
Eine Gerade wird durch zwei Punkte bestimmt.
Eine lineare Funktion hat eine Gerade als Graph.
Zeichnerische Lösung
Schritt 3: Bestimme mit dem Steigungsdreieck die Steigung
$$2$$ nach rechts, $$1$$ nach unten → $$m=-1/2$$
Schritt 4: Stelle die Funktionsgleichung $$y = f(x) = mx + b$$ auf.
Du kennst nun m und b und kannst die Funktionsgleichung aufschreiben:
$$f(x) = -1/2 x + 4$$
In der Gleichung $$f(x) = mx + b$$ gibt $$m$$ die Steigung und $$b$$ den Abschnitt auf der $$y$$-Achse an.
Funktionsgleichung berechnen
Die Steigung kann man auch berechnen, wenn man für das Steigungsdreieck den Unterschied der $$y$$-Werte geteilt durch den Unterschied der $$x$$-Werte nimmt, also
$$m={\text{Differenz der }y \text{-Werte}}/{\text{Differenz der }x\text{-Werte}}$$
Schritt 1: Berechne die Steigung.
$$m={\text{Differenz der }y \text{-Werte}}/{\text{Differenz der }x\text{-Werte}}={2,5-5}/(3-(-2))=-2,5/5=1/2$$
Du weißt jetzt, dass der Funktionsterm $$f(x) = -0,5 x + b$$ sein muss, aber den Achsenabschnitt $$b$$ kennst du noch nicht.
Schritt 2: Setze die Koordinaten des Punkts $$A(10|20000)$$ in die halb fertige Funktionsgleichung ein: