Geometisches Mittel
Das geometrische Mittel g einer Menge positiver Werte x1, x2 ... xn ist gleich der n-ten Wurzel aus dem Produkt dieser Werte:
g=x1⋅x2⋅...⋅xnn
Das geometrische Mittel g zweier positiver Zahlen a und b ist somit die (Quadrat-)Wurzel aus ihrem Produkt:
g=a⋅b
Beispiele:
- Das geometrische Mittel der Zahlen 4 und 9 ist 6.
- Im rechtwinkligen Dreieck ist (nach dem Höhensatz) die zur Hypotenuse gehörende Höhe h das geometrische Mittel der Hypotenusenabschnitt p und q, d. h., es gilt:
h=p⋅q
Das geometrische Mittel zweier positiver reeller Zahlen a und b ist stets kleiner als deren arithmetisches Mittel, d. h., es gilt:
a⋅b<a+b2 (a,b∈ℝ;a, b>0)
Dies lässt sich leicht zeigen: Aus obiger Ungleichung folgt über
2a⋅b<a+b 4ab<(a+b)2=a2+2ab+b2 0<a2−2ab+b2
mit 0<(a−b)2 eine wahre Aussage.
"n" ist die Anzahl der bedienten Gäste. In unserem Beispiel waren das "2", denn die Bedienungsgeschwindigkeiten wurden jeweils "pro Gast" angegeben. Für die Bedienung eines Gastes hat der schnelle Kellner 2 Minuten und der langsame Kellner 4 Minuten gebraucht. Heraus kommen als Durchschnittsgeschwindigkeit pro Gast "2,66 Minuten".
Merke dir: Wenn du den Durchschnitt von Geschwindigkeiten berechnest, kann es sinnvoll sein, die Formel für das harmonische Mittel anzuwenden. Das Stichwort für den Einsatz des "geometrische Mittels" lautet "durchschnittliches Wachstum".
Diese Tabelle zeigt uns die Umsätze und die Umsatzzuwächse unseres jährlichen Restaurantumsatzes an. Im Jahr 2006 lag der Restaurantumsatz z.B. um 13,1 Prozent über dem, des Jahres 2005. Wie bilden wir aus diesen 4 Wachstumsraten einen Durchschnittswert? Der Einsatz des arithmetischen Mittels wäre hier denkbar, ist jedoch zur Berechnung einer durchschnittlichen Wachstumsrate nicht sinnvoll.
Warum? Weil die Wachstumsraten der einzelnen Jahre voneinander abhängen und wir sie deshalb nicht wie unabhängige Werte einfach "addieren" dürfen, müssen wir sie durch folgende Formel "multiplizieren".
Es liegen uns 4 Werte vor, "n" beträgt also 4 und wir rechnen daher "4. Wurzel aus dem Produkt der einzelnen Wachstumsraten.
Dies ist das geometrische Mittel und wir kennen nun die durchschnittliche jährliche Wachstumsrate unseres Restaurantumsatzes.
Man kann sich einfach merken: Wenn der Durchschnittswert aus Wachstumsraten gebildet werden soll, so muss die Formel des geometrischen Mittels verwendet werden.
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Fährt man eine Stunde mit 50 km/h und dann eine Stunde mit 100 km/h, so legt man insgesamt 150 km in 2 Stunden zurück; die Durchschnittsgeschwindigkeit ist 75 km/h, also das arithmetische Mittel von 50 und 100. Bezieht man sich hingegen nicht auf die benötigte Zeit, sondern auf die durchfahrene Strecke, so wird die Durchschnittsgeschwindigkeit durch das harmonische Mittel beschrieben: Fährt man 100 km mit 50 km/h und dann 100 km mit 100 km/h, so legt man 200 km in 3 Stunden zurück, die Durchschnittsgeschwindigkeit ist 66,67 km/h, also das harmonische Mittel von 50 und 100.Inhalte Anzeigen
1 Mittelwert
2 Geschichte
3 Visualisierung des arithmetischen Mittels
4 Definitionen der drei klassischen Mittelwerte
5 Arithmetischer Mittelwert
6 Geometrisches Mittel
7 Harmonischer Mittelwert
8 Beispiele für die Verwendung unterschiedlicher Mittelwerte
9 Gemeinsame Definition der drei klassischen Mittelwerte
10 Zusammenhänge
11 Zusammenhang mit Erwartungswert
12 Zusammenhang von arithmetischem, harmonischem und geometrischem Mittel
13 Ungleichung der Mittelwerte
14 Vergleich zu anderen Maßen der zentralen Tendenz
15 Weitere Mittelwerte und ähnliche Funktionen
16 Gewichtete Mittel
17 Quadratisches und kubisches Mittel
18 Logarithmischer Mittelwert
19 Winsorisiertes und getrimmtes Mittel
20 Quartilsmittel
21 Mitte der kürzesten Hälfte
22 Gastwirth-Cohen-Mittel
23 Bereichsmittel
24 Das „a-Mittel“
25 Gleitende Durchschnitte
26 Kombinierte Mittelwerte
27 Verallgemeinerte Mittelwerte
28 Hölder-Mittel
29 Lehmer-Mittel
30 Stolarsky-Mittel
31 Integraldarstellung nach Chen
32 Mittelwert einer Funktion
33 Literatur
34 Weblinks
35 Einzelnachweise
36 Kontaktformular
37 Fragen zum Thema?
Mittelwert
Der Mittelwert ist ein Begriff aus der beschreibenden Statistik und fasst alle Werte einer Datenreihe zusammen. Dieser Wert wird auch als der arithmetische Mittelwert bezeichnet.
Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig. Weitere Bedeutungen sind unter Mittelwert (Begriffsklärung) aufgeführt.
Ein Mittelwert (kurz auch nur Mittel; anderes Wort Durchschnitt) ist eine Zahl, die aus gegebenen Zahlen nach einer bestimmten Rechenvorschrift ermittelt wird. Gebräuchlich sind Rechenvorschriften für das arithmetische, das geometrische und das quadratische Mittel. Mit dem Wort Mittel oder Durchschnitt ist meistens das arithmetische Mittel gemeint.
In der Statistik ist der Mittelwert einer der Parameter, die den typischen Wert einer Verteilung charakterisieren, bzw. die die zentrale Tendenz einer Verteilung zum Ausdruck bringen (Lageparameter).
Eng verwandt ist der arithmetische Mittelwert mit dem Erwartungswert einer Verteilung. Während der Mittelwert aus konkreten vorliegenden Zahlenwerten ermittelt wird, beruht der Erwartungswert auf der theoretisch zu erwartenden Häufigkeit.
Geschichte
In der Mathematik treten Mittelwerte, insbesondere die drei klassischen Mittelwerte (arithmetisches, geometrisches und harmonisches Mittel), bereits in der Antike auf. Pappos von Alexandria kennzeichnet zehn verschiedene Mittelwerte
Visualisierung des arithmetischen Mittels
Nachrechnung ohne Dimension:
Kugelgewicht gleich
Den meistbenutzten Mittelwert, das arithmetische Mittel, kann man z. B. mithilfe gleich schwerer Kugeln auf einer Wippe visualisieren, die aufgrund der Hebelgesetze durch ein Dreieck (Drehpunkt) ausbalanciert sind. Unter der Annahme, dass das Gewicht des Balkens vernachlässigt werden kann, entspricht die Position des Dreiecks, das die Balance herbeiführt, dem arithmetischen Mittel der Kugelpositionen.
Definitionen der drei klassischen Mittelwerte
Im Folgenden seien
Arithmetischer Mittelwert
→ Hauptartikel: Arithmetisches Mittel
Das arithmetische Mittel ist die Summe der gegebenen Werte geteilt durch die Anzahl der Werte.
Geometrisches Mittel
→ Hauptartikel: Geometrisches Mittel
Im Fall von Zahlen, die nicht auf Grund ihrer Summe, sondern ihres Produktes interpretiert werden, kann das geometrische Mittel berechnet werden. Dazu werden die Zahlen miteinander multipliziert und die
Harmonischer Mittelwert
→ Hauptartikel: Harmonisches Mittel
Das harmonische Mittel findet Verwendung, wenn die Zahlen im Bezug auf eine Einheit definiert sind. Dazu wird die Anzahl der Werte durch die Summe der Kehrwerte der Zahlen geteilt.
Beispiele für die Verwendung unterschiedlicher Mittelwerte
MerkmalsträgerIm Folgenden soll beispielhaft an den sieben rechts angegebenen Einträgen in der Wertetabelle gezeigt werden, wo welche Definition des Mittelwerts sinnvoll ist.
Das arithmetische Mittel wird beispielsweise zum Berechnen der Durchschnittsgeschwindigkeit genutzt, die Werte werden also als Geschwindigkeiten interpretiert: Läuft eine Schildkröte erst eine Stunde lang drei Meter pro Stunde, dann drei Stunden lang je zwei Meter und beschleunigt für jeweils eine Stunde nochmals auf drei, vier und fünf Meter pro Stunde, so ergibt sich als arithmetisches Mittel bei einer Strecke von 21 Metern in 7 Stunden:
Auch das harmonische Mittel kann zur Berechnung einer durchschnittlichen Geschwindigkeit sinnvoll sein, wenn nicht über gleiche Zeiten, sondern über gleiche Strecken gemessen wird. In dem Fall geben die Werte der Tabelle die Zeiten an, in der eine einheitliche Strecke zurückgelegt wird: Die Schildkröte laufe den 1. Meter mit 3 Metern pro Stunde, weitere 3 m mit jeweils 2 m/h und beschleunigt auf den letzten 3 Metern nochmals auf jeweils 3, 4 und 5 m/h. Die Durchschnittsgeschwindigkeit ergibt sich bei einer Strecke von 7 Metern in
Mit dem geometrischen Mittel errechnet man den mittleren Wachstumsfaktor. Die Wertetabelle wird also als die Angabe von Wachstumsfaktoren interpretiert. Eine Bakterienkultur wachse beispielsweise am ersten Tag auf das Fünffache, am zweiten auf das Vierfache, dann zweimal auf das Dreifache und die letzten drei Tage verdoppelt sie sich täglich. Der Bestand nach dem siebten Tag errechnet sich also durch
und somit ist
Ein tägliches Wachstum der Bakterienkultur um das 2,83-Fache hätte also nach sieben Tagen zum selben Ergebnis geführt.
Gemeinsame Definition der drei klassischen Mittelwerte
Die Idee, die den drei klassischen Mittelwerten zugrunde liegt, lässt sich auf folgende Weise allgemein formulieren:
Beim arithmetischen Mittel sucht man die Zahl , für die
gilt, wobei sich die Summe links über Summanden erstreckt. Das arithmetische Mittel mittelt also bzgl. der arithmetischen Verknüpfung „Summe“. Anschaulich bestimmt man mit dem arithmetischen Mittel aus Stäben verschiedener Länge einen mit einer durchschnittlichen oder mittleren Länge.
Beim geometrischen Mittel sucht man die Zahl , für die
gilt, wobei sich das Produkt links über Faktoren erstreckt. Das geometrische Mittel mittelt also bzgl. der arithmetischen Verknüpfung „Produkt“.
Das harmonische Mittel löst die Gleichung
Zusammenhänge
Zusammenhang mit Erwartungswert
Der generelle Unterschied zwischen einem Mittelwert und dem Erwartungswert ist, dass der Mittelwert auf einen konkreten Datensatz angewendet wird, während der Erwartungswert Information über die Verteilung einer Zufallsvariablen liefert. Von Bedeutung ist die Verbindung zwischen diesen beiden Parametern. Wenn der Datensatz, auf den das Mittel angewendet wird, eine Stichprobe der Verteilung der Zufallsvariablen ist, ist das arithmetische Mittel der erwartungstreue und konsistente Schätzer des Erwartungswertes der Zufallsvariablen. Da der Erwartungswert dem ersten Moment einer Verteilung entspricht, wird der Mittelwert daher häufig genutzt, um aus empirischen Daten die Verteilung einzuschränken. Im Falle der häufig genutzten Normalverteilung, die durch die ersten beiden Momente vollkommen festgelegt ist, ist der Mittelwert daher von entscheidender Bedeutung.
Zusammenhang von arithmetischem, harmonischem und geometrischem Mittel
Der Kehrwert des harmonischen Mittels ist gleich dem arithmetischen Mittel der Kehrwerte der Zahlen.
Für
oder nach dem geometrischen Mittel aufgelöst
Ungleichung der Mittelwerte
→ Hauptartikel: Ungleichung der Mittelwerte
Die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel vergleicht die Werte des arithmetischen und geometrischen Mittels zweier gegebener Zahlen: Es gilt für positive Variable stets
Die Ungleichung lässt sich auch auf weitere Mittelwerte ausdehnen, z. B. (für positive Variable)
Für zwei (positive) Variablen gibt es auch eine grafische Veranschaulichung:
Geometrischer Beweis der Ungleichung für Mittelwerte zweier Variablen,
Visualisierung von arithmetischem, geometrischem und harmonischem Mittel nach Pappos von Alexandria[2]
Vergleich von arithmetischem, geometrischem, harmonischem und weiteren Mittelwerten zweier positiver reeller Zahlen
Das geometrische Mittel folgt direkt aus dem euklidischen Höhensatz und das harmonische Mittel aus dem euklidischen Kathetensatz mit der Beziehung
Vergleich zu anderen Maßen der zentralen Tendenz
→ Hauptartikel: Median und Modus (Statistik)
Häufig wird ein Mittelwert genutzt, um einen zentralen Wert eines Datensatz zu beschreiben. Dabei gibt es weitere Parameter, die ebenfalls diese Funktion erfüllen: Median und Modus. Der Median beschreibt einen Wert, der den Datensatz in zwei Hälften teilt, während der Modus den Wert mit der höchsten Häufigkeit im Datensatz angibt. Im Vergleich zum Median ist der Mittelwert anfälliger für Ausreißer und daher weniger robust. Weil der Median ein Quantil der Verteilung beschreibt, ist es auch möglich, dass dieser einen Wert aus der Ausgangsmenge beschreibt. Dies ist vor allem dann interessant, wenn die Zahlen zwischen den gegebenen Daten aus anderweitigen – beispielsweise physikalischen – Überlegungen nicht aussagekräftig sind. Der Median wird allgemein mit der folgenden Rechenvorschrift ermittelt.[1]
Weitere Mittelwerte und ähnliche Funktionen
Gewichtete Mittel
Die gewichteten oder auch gewogenen Mittelwerte entstehen, wenn man den einzelnen Werten unterschiedliche Gewichte zuordnet, mit denen sie in das Gesamtmittel einfließen; zum Beispiel, wenn bei einer Prüfung mündliche und schriftliche Leistung unterschiedlich stark in die Gesamtnote einfließen.
Die genauen Definitionen finden sich hier:
- Gewichtetes arithmetisches Mittel
- Gewichtetes geometrisches Mittel
- Gewichtetes harmonisches Mittel
Quadratisches und kubisches Mittel
Weitere Mittel, die Verwendung finden, sind das quadratische Mittel und das kubische Mittel. Das quadratische Mittel wird mit der folgenden Rechenvorschrift berechnet:
Das kubische Mittel wird wie folgt ermittelt:
Logarithmischer Mittelwert
Der logarithmische Mittelwert
Für
Winsorisiertes und getrimmtes Mittel
→ Hauptartikel: Getrimmter Mittelwert
Kann man davon ausgehen, dass die Daten durch „Ausreißer“, das heißt einige wenige zu hohe oder zu niedrige Werte, kontaminiert sind, so kann man die Daten entweder durch Stutzen oder durch „Winsorisieren“ (benannt nach Charles P. Winsor) bereinigen und den getrimmten (bzw. gestutzten)
Beispiel: Hat man 10 aufsteigend sortierte reelle Zahlen
Indes ist der 10-%-winsorisierte Mittelwert gleich
D. h., das getrimmte Mittel liegt zwischen dem arithmetischen Mittel (keine Stutzung) und dem Median (maximale Stutzung). Üblicherweise wird ein 20-%-getrimmtes Mittel verwendet, d. h., 40 % der Daten bleiben unberücksichtigt für die Mittelwertberechnung. Die Prozentzahl richtet sich im Wesentlichen nach der Zahl der vermuteten Ausreißer in den Daten; für Bedingungen für eine Trimmung von weniger als 20 % sei auf die Literatur verwiesen.[3][4]
Quartilsmittel
Das Quartilsmittel ist definiert als der Mittelwert des 1. und 3. Quartils:
Hierbei bezeichnet
Das Quartilsmittel ist robuster als das arithmetische Mittel, aber weniger robust als der Median.
Mitte der kürzesten Hälfte
Sei
Gastwirth-Cohen-Mittel
Das Gastwirth-Cohen-Mittel[6] nutzt drei Quantile der Daten: das
mit
Spezialfälle sind
- das Quartilsmittel mit ,und
- das Trimean mit , .
Bereichsmittel
Das Bereichsmittel (englisch Mid-range) ist definiert als der arithmetische Mittelwert aus dem größten und dem kleinsten Beobachtungswert:
Dies ist gleichbedeutend mit:
Das „a-Mittel“
Für einen gegebenen reellen Vektor
wobei über alle Permutationen
Für den Fall
Für die -Mittel gilt die Muirhead-Ungleichung.
Beispiel: Sei
Damit ergibt sich
:Gleitende Durchschnitte
→ Hauptartikel: Gleitender Mittelwert
Gleitende Durchschnitte werden in der dynamischen Analyse von Messwerten angewandt. Sie sind außerdem ein gängiges Mittel der technischen Analyse in der Finanzmathematik. Mit gleitenden Durchschnitten kann das stochastische Rauschen aus zeitlich voranschreitenden Signalen herausgefiltert werden. Häufig handelt es sich dabei um FIR-Filter. Jedoch muss beachtet werden, dass die meisten gleitenden Durchschnitte dem echten Signal hinterherlaufen. Für vorausschauende Filter siehe z. B. Kalman-Filter.
Gleitende Durchschnitte benötigen normalerweise eine unabhängige Variable, die die Größe der nachlaufenden Stichprobe bezeichnet, bzw. das Gewicht des vorangehenden Wertes für die exponentiellen gleitenden Durchschnitte.
Gängige gleitende Durchschnitte sind:
- arithmetische gleitende Durchschnitte (Simple Moving Average – SMA),
- exponentiell gleitende Durchschnitte (Exponential Moving Average – EMA),
- doppelt exponentiell gleitende Durchschnitte (Double EMA – DEMA),
- dreifach, -fach exponentiell gleitende Durchschnitte (Triple EMA – TEMA),
- linear gewichtete gleitende Durchschnitte (linear abfallende Gewichtung),
- quadratisch gewichtete gleitende Durchschnitte und
- weitere Gewichtungen: Sinus, Triangular, …
In der Finanzliteratur können außerdem sogenannte adaptive gleitende Durchschnitte gefunden werden, die sich automatisch einer sich ändernden Umgebung (anderer Volatilität/Streuung etc.) anpassen:
- Kaufmann’s Adaptive Moving Average (KAMA) sowie
- Variable Index Dynamic Average (VIDYA).
Für die Anwendung von gleitenden Durchschnitten siehe auch Gleitende Durchschnitte (Chartanalyse) und MA-Modell.
Kombinierte Mittelwerte
Mittelwerte lassen sich kombinieren; so entsteht etwa das arithmetisch-geometrische Mittel, das zwischen dem arithmetischen und geometrischen Mittel liegt.
Verallgemeinerte Mittelwerte
Es gibt eine Reihe weiterer Funktionen, mit denen sich die bekannten und weitere Mittelwerte erzeugen lassen.
Hölder-Mittel
→ Hauptartikel: Hölder-Mittel
Für positive Zahlen
Für
Man beachte, dass sowohl Notation als auch Bezeichnung uneinheitlich sind.
Für
Außerdem gilt bei festen Zahlen : Je größer ist, desto größer ist
Lehmer-Mittel
Das Lehmer-Mittel[7] ist ein anderer verallgemeinerter Mittelwert; zur Stufe
Es hat die Spezialfälle
- ist das harmonische Mittel;
- ist das geometrische Mittel vonund;
- ist das arithmetische Mittel;
Stolarsky-Mittel
Das Stolarsky-Mittel zweier Zahlen
Integraldarstellung nach Chen
Die Funktion
ergibt für verschiedene Argumente
- ist das harmonische Mittel.
- ist das geometrische Mittel.
- ist das arithmetische Mittel.
Aus der Stetigkeit und Monotonie der so definierten Funktion
Mittelwert einer Funktion
Das arithmetische Mittel einer stetigen Funktion
Das quadratische Mittel einer stetigen Funktion ist
Diese finden in der Technik erhebliche Beachtung, siehe Gleichwert und Effektivwert.
Literatur
- F. Ferschl: Deskriptive Statistik. 3. Auflage. Physica-Verlag Würzburg, ISBN 3-7908-0336-7.
- P. S. Bullen: Handbook of Means and Their Inequalities. Kluwer Acad. Pub., 2003, ISBN 1-4020-1522-4 (umfassende Diskussion von Mittelwerten und den mit ihnen verbundenen Ungleichungen).
- G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Polya: Inequalities. Cambridge Univ. Press, 1964.
- E. Beckenbach, R. Bellman: Inequalities. Springer, Berlin 1961.
- F. Sixtl: Der Mythos des Mittelwertes. R. Oldenbourg Verlag, München/Wien 1996, 2. Aufl., ISBN 3-486-23320-3.
Weblinks
- Averaging auf Scholarpedia (englisch)
Einzelnachweise
- ↑ a b F. Ferschl: Deskriptive Statistik. 3. Auflage. Physica-Verlag Würzburg, ISBN 3-7908-0336-7. S. 48–74.
- ↑ Horst Hischer: Viertausend Jahre Mittelwertbildung. Babylonische Ungleichungskette. Universität des Saarlandes, 2003, S. 12, abgerufen am 26. Mai 2022.
- ↑ R. K. Kowalchuk, H. J. Keselman, R. R. Wilcox, J. Algina: Multiple comparison procedures, trimmed means and transformed statistics. In: Journal of Modern Applied Statistical Methods. Band 5, 2006, S. 44–65, doi:10.22237/jmasm/1146456300.
- ↑ R. R. Wilcox, H. J. Keselman: Power analysis when comparing trimmed means. In: Journal of Modern Applied Statistical Methods. Band 1, 2001, S. 24–31, doi:10.22237/jmasm/1020254820.
- ↑ L. Davies: Data Features. In: Statistica Neerlandica. Band 49, 1995, S. 185–245, doi:10.1111/j.1467-9574.1995.tb01464.x.
- ↑ J. L. Gastwirth, M. L. Cohen: Small sample behavior of some robust linear estimators of location, J Amer Statist Assoc 65:946–973, 1970, doi:10.1080/01621459.1970.10481137, JSTOR:2284600.
- ↑ Eric W. Weisstein: Lehmer Mean. In: MathWorld (englisch).
- ↑ H. Chen: Means Generated by an Integral. In: Mathematics Magazine. Vol. 78, Nr. 5 (Dez. 2005), S. 397–399, JSTOR:30044201.
Wann benutze ich harmonisches Mittel?
Das harmonische Mittel ist ein Lageparameter der Statistik und kommt bei Verhältniszahlen zur Anwendung. Man berechnet mit ihm den Mittelwert der Menge dieser Zahlen. Als Verhältniszahlen werden Brüche bezeichnet, die eine Beziehung widerspiegeln. Also zum Beispiel Studenten pro Einwohner oder Preis pro Quadratmeter.Ist der Durchschnitt und das arithmetische Mittel das gleiche?
Der Mittelwert (auch als arithmetisches Mittel oder arithmetischer Mittelwert bezeichnet) wird in unserer Alltagssprache als Durchschnitt bezeichnet und ist die Summe eine Gruppe von Zahlen, welche durch die Anzahl der in dieser Gruppe befindlichen Zahlen dividiert wird.Was bezeichnet der Mittelwert?
Der Mittelwert beschreibt den statistischen Durchschnittswert und zählt zu den Lageparametern in der Statistik. Für den Mittelwert addiert man alle Werte eines Datensatzes und teilt die Summe durch die Anzahl aller Werte.