Brüche können auf denselben Nenner gebracht werden, indem man die Brüche mit dem Nenner des jeweils anderen Bruches erweitert. Dies sieht in Formeln so aus:
Wie ihr seht, sind die beiden Nenner jetzt gleich, nämlich b·d. Jetzt könnte man beide Brüche auch problemlos addieren oder subtrahieren:
Beispiele zum Nenner gleich machen von Brüchen
Ausführliches Beispiel
- Man kann den ersten Bruch mal den Nenner vom zweiten Bruch nehmen (also Zähler und Nenner mal diese Zahl)
- und den zweiten Bruch mal den Nenner vom ersten Bruch (Auch hier Zähler und Nenner mal diese Zahl)
- so sind die beiden Nenner gleich und man kann normal addieren und subtrahieren
Aufgaben zum Nenner gleich machen von Brüchen
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Als Hauptnenner zweier oder mehrerer Brüche bezeichnet man das kleinste gemeinsame Vielfache ihrer Nenner. "Auf den Hauptnenner bringen" bedeutet, die Brüche alle so zu erweitern oder zu kürzen, dass alle den selben Nenner besitzen. Dies ist z.B. notwendig, um ihre Größe zu vergleichen und sie zu addieren oder zu subtrahieren.
Rechnerisches Vorgehen
Zuerst soll das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner bestimmmt werden. Dafür wendet man die Primfaktorzerlegung an. Um den Hauptnenner zu errechnen, werden dafür alle Primfaktoren der beiden Nenner so oft, wie sie bei den Zerlegungen am häufigsten vorkommen, multipliziert. Dieses Verfahren wird dir im Artikel für kgV genauer erklärt.
Die beiden Brüche erweitert man nun so, dass ihre Nenner das kleinste gemeinsame Vielfache erreichen und hat die Brüche so auf einen Hauptnenner gebracht.
Beispiel 1
Gegeben: 16+35\displaystyle\frac16+\frac3561+53
Zuerst schaust du dir die Brüche einzeln an und überprüfst, ob du sie kürzen kannst. Weder 16\displaystyle\frac1661 noch 35\displaystyle\frac3553 kann man kürzen.
Um das kleinste gemeinsame Vielfache zu bestimmen, schaust du dir die Nenner an. Hier sind wir auf der Suche nach Primfaktoren. Hierzu nutzen wir die Primfaktorzerlegung.
6=2⋅35=5kgV(6;5)=2⋅3⋅5=30\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}6&=&2&\cdot&3\\5&=&&&&&5\\\text{kgV}(6;5)&=&2&\cdot&3&\cdot&5&=\textcolor{red}{30}\end{array}65kgV(6;5)===22⋅⋅33⋅55=30
Über die Primfaktorzerlegung bestimmst du das kgV. Das ist unser Hauptnenner. In unserem Beispiel ist das 3 ⋅ 2 ⋅ 5 = 303\;\cdot\;2\;\cdot\;5\;=\;303⋅2⋅5=30. Im nächsten Schritt erweiterst du die Brüche auf den Hauptnenner 303030 und kannst sie jetzt summieren.
Erweitere auf den Hauptnenner 30.
↓
16 + 35\displaystyle \frac16\;+\;\frac3561+53===1 ⋅ 56 ⋅ 5 + 3 ⋅ 65 ⋅ 6\displaystyle \frac{1\;\cdot\;5}{6\;\cdot\;5}\;+\;\frac{3\;\cdot\;6}{5\;\cdot\;6}6⋅51⋅5+5⋅63⋅6↓
Vereinfache die Zähler und addiere die Brüche, indem du die Zähler addierst.
===5 + 1830\displaystyle \frac{5\;+\;18}{30}305+18↓
Addiere.
Beispiel 2
Berechne 148+190\displaystyle\frac1{48}+\frac1{90}481+901.
Mache zunächst eine Primfaktorzerlegung der Nenner.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅390=2⋅3⋅3⋅5kgV(48;90)=2⋅2⋅2⋅2⋅3⋅3⋅5=720\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}48&=&2&\cdot&2&\cdot&2&\cdot&2&\cdot&3\\90&=&2&&&&&&&\cdot&3&\cdot&3&\cdot&5\\\text{kgV}(48;90)&=&2&\cdot&2&\cdot&2&\cdot&2&\cdot&3&\cdot&3&\cdot&5&=\textcolor{red}{720}\end{array}4890kgV(48;90)===222⋅⋅22⋅⋅22⋅⋅22⋅⋅⋅333⋅⋅33⋅⋅55=720
Der Primfaktor 222 kommt am häufigsten in der Zahl 484848 vor: 444 mal.⇒2⋅2⋅2⋅2\Rightarrow2\cdot2\cdot2\cdot2⇒2⋅2⋅2⋅2
Der Primfaktor 333 kommt am häufigsten in der Zahl 909090 vor: 222 mal. ⇒3⋅3\Rightarrow3\cdot3⇒3⋅3
Der Primfaktor 555 kommt am häufigsten in der Zahl 909090 vor: 111 mal. ⇒5\Rightarrow5⇒5
Der Hauptnenner von 148\frac1{48}481 und 190\frac1{90}901 ist also 720720720.
Jetzt erweitert man die Brüche auf den Nenner 720720720.
148=15⋅115⋅48=15720\displaystyle\frac1{48}=\frac{15\cdot1}{15\cdot48}=\frac{15}{720}481=15⋅4815⋅1=72015
190=8⋅18⋅90=8720\displaystyle\frac1{90}=\frac{8\cdot1}{8\cdot90}=\frac8{720}901=8⋅908⋅1=7208
Nun kann man die Brüche addieren.
148+190=15720+8720=23720\displaystyle\frac1{48}+\frac1{90}=\frac{15}{720}+\frac8{720}=\frac{23}{720}481+901=72015+7208=72023
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Enthält deine Gleichung Variablen, verwende dieses Verfahren zum Bilden des Hauptnenners mit Variablen.