In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der Bedeutung bzw. der Interpretation der ersten Ableitung. Falls du noch nicht weißt, wie man die erste Ableitung berechnet, solltest du dir den Themenbereich der Differentialrechnung durchlesen.
- Geometrische Interpretation
- Waagrechte Tangenten
- Online-Rechner
Geometrische Interpretation
Beispiel 1
Im Koordinatensystem ist der Graph der Funktion $f(x) = x^2$ (rot) sowie der Graph der Tangente (blau) eingezeichnet. Die Tangentensteigung können wir aus der Ableitung $f'(x) = 2x$ berechnen.
Du kannst in der Abbildung den weißen Knopf verschieben, um leichter zu erkennen, dass Folgendes gilt:
Die Ableitung einer beliebigen Funktion an einer Stelle $x_0$ ist definiert als die Steigung der Tangente im Punkt $(x_0|f(x_0))$ des Graphen von $f$.
Wir erkennen:
Außerdem gilt:
Waagrechte Tangenten
Im Kapitel Extremwerte berechnen werden wir lernen, dass ein notwendiges Kriterium für Extrempunkte (= Hochpunkt oder Tiefpunkt) das Vorliegen einer waagrechten Tangente ist.
Beispiel 2
In der obigen Abbildung kannst du eine waagrechte Tangente erzeugen, indem du den weißen Knopf auf $x_0=0$ bewegst. Genau an dieser Stelle liegt nämlich der Tiefpunkt der quadratischen Funktion $f(x) = x^2$.
Online-Rechner
Ableitungsrechner
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Wie lautet die Ableitungsfunktion von der Funktion f(x)=1x bin dankbar für kurze sätze nebenbei um verstehen zu können, was gemacht wurde. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): |
Hierzu passend bei OnlineMathe: Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Quotientenregel Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden |
f(x)=1x=x−1f′(x)=−1 x−1−1=−1x−2=−1x2 |
ok... kannst du vllt noch kurz erläutern was du da gemacht hast? |
Allgemein ist die Rechenregel für's Ableiten folgenermaßen: f(x)=xf f' (x)=f⋅xf-1 Weiterhin kann man, wenn etwas unterm Bruchstrich steht mit einem Minius in der Potenz über den Bruchstrich schreiben: →1x=x-1 oder 1x2=x-2 usw. Für dich ergibt sich somit: f(x)=1x=x -1 Wenn du jetzt die Rechenregel von ganz oben anwendest (mit f=-1) folgt: f '(x)=(-1)⋅x-1-1=-1⋅x-2 Jetz wieder x unter den Bruchstrich bringen: -1⋅x-2=-1x2 |
jawoll danke ;-) ich habe es verstanden :-D) |
Alternativ könntest du sowas auch mit der Quotientenregel ableiten. Ist zwar hier deutlich mehr Aufwand, aber es
wäre auch eine Möglichkeit: ( "Nenner" ⋅ "Ableitung vom Zähler" )-( "Zähler" ⋅ "Ableitung vom Nenner") : "Nenner ^2" Wäre also: |