4 mal das gleich 1 6

Hier erfährst du, wie du unechte Brüche in gemischte oder natürliche Zahlen und wie du gemischte und natürliche Zahlen in Brüche umwandeln kannst.

• Umwandeln einer natürlichen Zahl in einen unechten Bruch
• Umwandeln einer gemischten Zahl in einen unechten Bruch
• Umwandeln eines unechten Bruchs in eine natürliche Zahl
• Umwandeln eines unechten Bruchs in eine gemischte Zahl

Umwandeln einer natürlichen Zahl in einen unechten Bruch

Jede natürliche Zahl (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...) kannst du in einen Bruch mit dem Nenner 1 umwandeln.

Wandle 4 in einen Bruch um.

4 = 41

Umwandeln einer gemischten Zahl in einen unechten Bruch

Eine gemischte Zahl besteht aus einer natürlichen Zahl (den Ganzen) und einem Bruch (dem Bruchteil). Gemischte Zahlen kannst du in unechte Brüche umwandeln.

Du kannst eine Pizza oder einen Kuchen in gleich große Teile zerschneiden.

Wandle 214in einen unechten Bruch um.

Umwandeln

214=94

Wandle 214in einen unechten Bruch um.

Umwandeln

214= 94

Umwandeln eines unechten Bruchs in eine natürliche Zahl

Du kannst einen Bruch in eine natürliche Zahl umwandeln, wenn der Zähler größer oder gleich dem Nenner und der Nenner Teiler des Zählers ist.

Wandle 42um.

Umwandeln

42= 2

Wandle 12 3um.

Umwandeln

123= 4

Umwandeln eines unechten Bruchs in eine gemischte Zahl

Du kannst einen Bruch in eine gemischte Zahl umwandeln, wenn der Zähler größer als der Nenner und der Nenner kein Teiler des Zählers ist.

Wandle 54um.

Umwandeln

54 = 114

Wandle 135um.

Umwandeln

135= 235

Hier erfährst du, wie du mit Brüchen multiplizieren kannst.

• Multiplizieren von Brüchen
• Multiplizieren und Kürzen
• Multiplizieren einer natürlichen Zahl mit einem Bruch
• Multiplizieren gemischter Zahlen

Multiplizieren von Brüchen

Ein Bruch stellt einen Teil eines Ganzen dar. Wenn du zwei Brüche miteinander multiplizierst, dann unterteilst du den ersten Bruchteil in noch kleinere Teile.

Brüche werden miteinander multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nennermultipliziert.

12·13

Multiplizieren

12·13=16

Rechne aus: 23·25

Multiplizieren

23·25=415

Multiplizieren und Kürzen

Vor dem Multiplizieren zweier Brüche kannst du manchmal noch kürzen. Dabei kannst du innerhalb eines Bruchs kürzen, aber auch zwischen den beiden Brüchen, die miteinander multipliziert werden.

Kürze immer nur eine Zahl im Zähler gegen eine Zahl im Nenner!

Rechne aus: 24·35

Kürzen im Bruch

24·35=12·35

Multiplizieren

12·35=310

Rechne aus: 212·47

Kürzen im Bruch

212·47=16·4 7

Du kannst noch weiter kürzen!

Kürzen über Kreuz

16·47=13·27

Multiplizieren

13·27=221

Multiplizieren einer natürlichen Zahl mit einem Bruch

Eine natürliche Zahl kannst du in einen Bruch mit dem Nenner 1 umwandeln. Anschließend kannst du die beiden Brüche multiplizieren.Bei diesen Aufgaben kannst du manchmal das Endergebnis wieder in eine natürliche Zahl oder eine gemischte Zahl umwandeln.

Rechne aus: 5·38

Umwandeln

5·38=51·38

Multiplizieren

51·38=158

Umwandeln

158= 178

Multiplizieren gemischter Zahlen

Wenn du gemischte Zahlen multiplizieren möchtest, wandelst du die sie zuerst in unechte Brüche um. Danach kannst du genauso weiterrechnen, wie beim Multiplizieren von Brüchen.

Rechne aus: 112·213

Umwandeln

112·213=32·73

Kürzen über Kreuz

32·73=12·7 1

Multiplizieren

12·71=72

Umwandeln

72=312

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung werdet ihr sicher irgendwann ausrechnen müssen, wie viele Möglichkeiten oder Anordnungen es bei einem Experiment gibt. Also konkret: Wie viele mögliche Ereignisse gibt es? Um diese zu berechnen, kommt es immer darauf an, wie das Experiment aufgebaut ist:

Übersicht

1. Anordnungen
   1. Anzahl möglicher Ereignisse bei einer Anordnung
      • z.B. 5 Leute auf 5 Stühle setzen
      • 10 Autos in 10 Parklücken einordnen
   2. Anzahl möglicher Ereignisse bei einer Anordnung mit gleichen Objekten
      • z.B. 3 VW´s und 2 Volvos in 5 Parklücken
      • Reihenfolge beim ziehen von 4 roten und 2 blauen Kugeln
2. Auswahlen
   1. Unter Betrachtung der Reihenfolge
      1. Anzahl möglicher Ereignisse ohne "Zurücklegen" bzw. Mehrfachauswahl
         • z.B: 3 aus 5 Kugeln ziehen, wobei wichtig ist welche zuerst und welche zuletzt gezogen wird
      2. Anzahl möglicher Ereignisse mit "Zurücklegen" bzw. Mehrfachauswahl
         • z.B. Zahlenschloss mit 3 Einstellungsstellen (3 Ringe an denen man die Zahl hin dreht) und je 10 Zahlen.
         • Eine Binärzahl kennt 2 Zustände (0 und 1).
   2. Ohne Betrachtung der Reihenfolge
      1. Anzahl möglicher Ereignisse ohne "Zurücklegen" bzw. Mehrfachauswahl
         • z.B. Lotto 6 aus 49, also man zieht 6 Kugeln aus 49
         • Mehrfachwurf einer Münze, wobei die Anzahl an Möglichkeiten berechnet werden soll, wenn beispielsweise 2 mal Kopf vorkommen soll.
      2. Anzahl möglicher Ereignisse mit "Zurücklegen" bzw. Mehrfachauswahl
         • z.B. 4 Kugeln werden aus einem Topf von 6 Kugeln gezogen, dabei wird nach jedem mal die Kugel gleich wieder zurückgelegt. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
3. Arbeitsblatt zur Kombinatorik

Dies ist der Fall, wenn man beispielsweise 5 Leute hat und ausrechnen will, wie viele Möglichkeiten es gibt sie nebeneinander zustellen. Dies berechnet sich relativ leicht, ihr nehmt einfach die Fakultät der Anzahl von Leuten bzw. den Objekten, die ihr anordnen wollt. Wichtig dabei das aber alle Objekte unterscheidbar sind. n ist die Anzahl an Objekten:

n!

Beispiele der Anwendung:

• 5 Leute auf 5 Stühle setzen
• 10 Autos in 10 Parklücken einordnen

Aufgabe zum Üben:

Möchtet ihr mehr üben? Wir haben ein Arbeitsblatt zur Kombinatorik für euch.

Habt ihr also mehrere Objekte, von denen aber manche gleich sind und ihr wissen wollt, wie man sie anordnen kann, berechnet man es folgendermaßen:

1. Nehmt die Fakultät der Objekte insgesamt, also wie viele es sind
2. Teilt dies durch die Fakultät aller gleichen Objekte, habt ihr also zum Beispiel 6 Kugeln davon sind 4 gleich und noch mal 2 gleich, dann teilt ihr also durch 4! · 2!.

Beispiel: Ihr habt n Kugeln und zieht eine nach der anderen aber davon sind k1 rot, k2 schwarz, k3 blau..., also die sind gleich. Dann berechnet ihr das so:

Beispiele der Anwendung:

• 3 VW´s und 2 Volvos in 5 Parklücken (n=5, k1=3, k2=2)
• Reihenfolge beim ziehen von 4 roten und 2 blauen Kugeln (n=6, k1=4, k2=2)

Aufgabe zum Üben:

Möchtet ihr mehr üben? Wir haben ein Arbeitsblatt zur Kombinatorik für euch.

Unter Betrachtung der Reihenfolge versteht man, dass es auch wichtig ist, welches Ereignis, wann eingetreten ist.

Sollt ihr die Anzahl an möglichen Ereignissen berechnen, wobei man nicht "zurücklegt" also ein Ereignis nicht doppelt vorkommen darf, könnt ihr euch das immer als Anordnungsproblem vorstellen, also wie viele Möglichkeiten gibt es diese Kombinationen anzuordnen, dann macht man das so:

1. Nehmt wieder die Fakultät der gesamten Anzahl an Objekten, die zur Auswahl stehen
2. Das teilt ihr dann durch die Fakultät der Anzahl an Objekten, die übrig bleiben, also nicht ausgesucht werden. Sucht man also zum Beispiel 3 aus 5 Kugeln aus teilt man durch 2!, da ja 2 Kugeln übrig bleiben.

Allgemein also (n ist die Anzahl der Kugeln insgesamt und k die Anzahl an ausgesuchten Kugeln):

Beispiele der Anwendung:

• 3 aus 5 Kugeln ziehen, wobei wichtig ist welche zuerst und welche zuletzt gezogen wird. Es macht also einen unterschied, ob erst z.B. eine blaue Kugel gezogen wurde und dann die rote oder umgekehrt, dass sind dann unter Betrachtung der Reihenfolge 2 verschiedene Ergebnisse.

Aufgabe zum Üben:

Noch Übung nötig? Wir haben ein Arbeitsblatt zur Kombinatorik für euch.

Sollt ihr die Anzahl an Möglichkeiten ausrechnen, wenn man aus Objekten welche aussuchen muss, aber auch Objekte mehrfach aussuchen kann (z.B. nach jedem Ziehen die Kugel wieder zurück in den Lostopf), wobei die Reihenfolge auch wichtig ist, dann macht ihr das, indem ihr einfach die Anzahl der gesamten Objekte hoch die Anzahl nimmt, die man aussucht.

(n ist die Anzahl der Elemente (oder Möglichkeiten) und k die Anzahl an "Ziehungen")

nk

Beispiele der Anwendung:

• Zahlenschloss mit 3 Einstellungsstellen (3 Ringe an denen man die Zahl hin dreht) und je 10 Zahlen. (n=10 und k=3). Ihr könnt ja an jeder Stelle des Schlosses noch mal z.B. die 9 einstellen, daher mit Mehrfachauswahl.
• Eine Binärzahl kennt 2 Zustände (0 und 1). Mit einer Reihenfolge von 10 Zahlen können 2 hoch 10 verschiedene Variationen entstehen. (n=2 und n=10)

Aufgabe zum Üben:

Weitere Aufgaben findet ihr im Arbeitsblatt zur Kombinatorik.

Ohne Betrachtung der Reihenfolge bedeutet es ist egal, ob erst die eine Kugel und dann die andere gezogen wurde oder umgekehrt. Da sind beide Ereignisse gleichbedeutend. Die folgenden Berechnungen sind ohne Betrachtung der Reihenfolge:

(zum Thema Binomialkoeffizienten geht´s HIER) Sollt ihr die Anzahl an möglichen Ereignissen berechnen, wobei man nicht "zurücklegt", also ein Ereignis nicht doppelt vorkommen darf, (ihr berechnet also, wie viele mögliche Kombinationen es gibt) ohne Betrachtung der Reihenfolge, macht ihr das so (n ist die Anzahl der Elemente und k die Anzahl an Auswahlen):

Anwendungsbeispiel:

• Lotto 6 aus 49, also man zieht 6 Kugeln aus 49, dabei ist die Reihenfolge ja egal, ob erst die 3 gezogen wird oder zuletzt, macht ja keinen Unterschied. (n=49 und k=6)
• Mehrfachwurf einer Münze, wobei die Anzahl an Möglichkeiten berechnet werden soll, wenn beispielsweise 2 mal Kopf vorkommen soll. (n=Anzahl an Würfen und k=Anzahl an Kopf Würfen)

Aufgabe zum Üben:

Weitere Aufgaben findet ihr im Arbeitsblatt zur Kombinatorik.

Die Anzahl der möglichen Ereignisse, wobei wieder "zurücklegt" bzw. die Ergebnisse mehrfach vorkommen dürfen, ohne Betrachtung der Reihenfolge. Die Berechnung sieht so aus (n ist die Anzahl der Kugeln insgesamt und k die Anzahl der Kugeln die man aussucht):

Anwendungsbeispiel:

• 4 Kugeln werden aus einem Topf von 6 Kugeln gezogen, dabei wird nach jedem mal die Kugel gleich wieder zurückgelegt.

Aufgabe zum Üben:

Wenn ihr mehr für dieses Thema üben möchtet könnt ihr euch unser kostenloses Arbeitsblatt downloaden. Es enthält Aufgaben zu allen oben beschriebenen Fällen inklusive Lösungen.

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