Warum ist 19=9 mod 5?wie kommt man auf sowas
 Community-Experte Schule, Mathe 19 ≠ 9 mod 5 aber 19 ≡ 9 mod 5 das heißt: 19 Ist kongruent 9 modulo 5 Weil 19 und 9 jeweils dividiert durch 5 den gleichen Rest haben
Warum die beiden gleich sind mod5 (korrekter: kongruent) hat Schachpapa erläutert. Schon früh (antikes Griechenland) haben Mathematiker sich Gedanken gemacht, welche gemeinsamen Eigenschaften Zahlen haben, die bei Division durch eine feste Zahl denselben Rest lassen. In der Algebra (Ringtheorie ) kann man mit der Modulo-Operation Kongguenzklassen definieren und Ringe
definieren (z.B.Quotientenring) die man sehr leicht verstehen kann und die einem recht schnell den Zugang für sehr komplexe algebraische Strukturen liefern.
Community-Experte Schule, Mathe Wenn du 19/5 und 9/5 ganzzahlig teilst, bleibt beidesmal der Rest 4.
Was möchtest Du wissen?Die Kongruenz ist in der Zahlentheorie eine Beziehung zwischen ganzen Zahlen. Man nennt zwei ganze Zahlen und kongruent modulo (= eine weitere Zahl), wenn sie bei der Division durch beide denselben Rest haben. Das ist genau dann der Fall, wenn sie sich um ein ganzzahliges Vielfaches von unterscheiden. Stimmen die Reste hingegen nicht überein, so nennt man die Zahlen inkongruent modulo . Jede Kongruenz modulo einer ganzen Zahl ist eine Kongruenzrelation auf dem Ring der ganzen Zahlen. Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Beispiel 1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Beispielsweise ist 5 kongruent 11 modulo 3, da
und , die beiden Reste (2) sind also gleich, bzw. da
Beispiel 2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Hingegen ist 5 inkongruent 11 modulo 4, da und ; die beiden Reste sind hier nicht gleich. Beispiel 3[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Und −8 ist kongruent zu 10 modulo 6, denn bei Division durch 6 liefern sowohl 10 als auch −8 den Rest 4. Man beachte, dass die mathematische Definition der Ganzzahldivision zugrunde gelegt wird, nach der der Rest dasselbe Vorzeichen wie der Divisor (hier 6) erhält, also . Schreibweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Für die Aussage „ und sind kongruent modulo “ verwendet man folgende Schreibweisen: Diese Schreibweisen können dabei als Kurzform der (zu obiger Aussage gleichwertigen) Aussage „Divisionsrest von durch ist gleich Divisionsrest von durch “, also von ,gesehen werden (wobei in letztgenannter Gleichung die mathematische Modulo-Funktion ist, die den Rest einer ganzzahligen Division ermittelt, hier also den Rest von bzw. ; bei der mathematischen Modulo-Funktion hat das Ergebnis, also der Rest, immer dasselbe Vorzeichen wie ). Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die Theorie der Kongruenzen wurde von Carl Friedrich Gauß in seinem im Jahr 1801 veröffentlichten Werk „Disquisitiones Arithmeticae“ entwickelt. Der Begriff Kongruenz wurde von Christian Goldbach schon ab 1730 in Briefen an Leonhard Euler verwendet, jedoch ohne die theoretische Tiefe von Gauß. Im Gegensatz zu Gauß verwendete Goldbach das Symbol und nicht .[1] Auch der chinesische Mathematiker Qin Jiushao (秦九韶) kannte schon Kongruenzen und die damit einhergehende Theorie, wie aus seinem 1247 veröffentlichten Buch „Shushu Jiuzhang“ (chinesisch 數書九章 / 数书九章, Pinyin Shùshū Jiǔzhāng – „Mathematische Abhandlung in neun Kapiteln“) hervorgeht.[2] Formale Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]In der Zahlentheorie wird die Kongruenz auf eine Teilbarkeitsaussage zurückgeführt. Seien dazu , und ganze Zahlen, d. h. Elemente aus . Unter Verwendung der mathematischen Notation lassen sich diese beiden Aussagen wie folgt schreiben: Restklassen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Eine Kongruenzrelation ist eine spezielle Äquivalenzrelation. Sie hat also die folgenden Eigenschaften: Die Äquivalenzklassen der Kongruenzrelation heißen Restklassen. Will man auch angeben, so spricht man von Restklassen . Eine Restklasse, die das Element enthält, wird oft mit bezeichnet. Wie jede Äquivalenzrelation definiert eine Kongruenzrelation eine Partition ihrer Trägermenge: Die Restklassen zu zwei Elementen sind entweder gleich oder disjunkt, ersteres genau dann, wenn die Elemente kongruent sind: .Ausgestattet mit den von induzierten Verknüpfungen bilden die Restklassen einen Ring, den sogenannten Restklassenring. Er wird für mit bezeichnet. Bemerkung für alle .Ist nicht trivial, also , dann befinden sich in einer Restklasse alle Zahlen, die den gleichen Rest bei der Division durch aufweisen. Dann entspricht auch der Absolutwert von , also , der Anzahl der Restklassen. Beispielsweise existieren für 2 die beiden Restklassen der geraden und der ungeraden Zahlen. Rechenregeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Im Folgenden seien , , , , und ganze Zahlen. Dabei sei , und . Dann gelten folgende Rechenregeln: Ist ein Polynom über den ganzen Zahlen, dann gilt: Auch bei Kongruenzen ist ein Kürzen möglich. Es gelten jedoch andere Kürzungsregeln als von rationalen oder reellen Zahlen gewohnt ( … größter gemeinsamer Teiler): Daraus folgt unmittelbar, dass – wenn eine Primzahl und diese kein Teiler von ist – gilt: Falls eine zusammengesetzte Zahl oder ein Teiler von ist, gilt nur: Für jeden Teiler von folgt aus , dass . Sind ganze Zahlen ungleich null und ist ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches, dann gilt: für allePotenzen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Ist eine natürliche Zahl, dann gilt: Sind und teilerfremd, dann gilt nach dem Satz von Euler ,wobei die Eulersche φ-Funktion bezeichnet. Daraus folgt außerdem , falls .Ein Spezialfall davon ist der kleine fermatsche Satz, demzufolge für alle Primzahlen die Kongruenz erfüllt ist. Abgeleitete Rechenregeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Lösbarkeit von linearen Kongruenzen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Lineare Kongruenz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Eine lineare Kongruenz der Form ist genau dann in lösbar, wenn die Zahl teilt. In diesem Fall besitzt die Kongruenz genau Lösungen in , und die Lösungen sind zueinander kongruent modulo . Auch für große kann man die Lösungen effizient ermitteln, indem man den erweiterten euklidischen Algorithmus auf und anwendet, der neben auch zwei Zahlen und berechnet, die als Linearkombination von und ausdrücken: Eine Lösung erhält man dann mit , und die übrigen Lösungen unterscheiden sich von um ein Vielfaches von . Beispiel: ist lösbar, denn teilt die Zahl , und es gibt Lösungen im Bereich . Der erweiterte euklidische Algorithmus liefert , was die Lösung ergibt. Die Lösungen sind kongruent modulo . Für lautet die Lösungsmenge somit . Simultane Kongruenz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Eine simultane Kongruenz wie ist sicher dann lösbar, wenn gilt: Der Beweis des Chinesischen Restsatzes liefert den Lösungsweg für solche simultanen Kongruenzen. Beziehung zur Modulo-Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Allgemein[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Mit , , gilt allgemein: Programmierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Sind zwei Zahlen und kongruent modulo einer Zahl , ergibt sich bei der Division durch derselbe Rest. Mithilfe der vor allem in der Informatik verbreiteten „symmetrischen Variante“ der
Modulo-Funktion, die in Programmiersprachen oft mit den Modulo-Operatoren (a mod m) = (b mod m) bzw. (a % m) = (b % m)Man beachte, dass dies mit der in der Informatik üblichen symmetrischen Modulo-Funktion nur für positive und richtig ist. Damit die Gleichung tatsächlich für alle und äquivalent zur Kongruenz wird, muss man die durch definierte mathematische Modulo-Funktion verwenden, deren Ergebnis immer dasselbe Vorzeichen wie hat ( ist die Gaußklammer). Mit dieser Definition gilt beispielsweise . Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Kongruenzen bzw. Restklassen sind oft hilfreich, wenn man Berechnungen mit sehr großen Zahlen durchführen muss. Eine wichtige Aussage über Kongruenzen von Primzahlen ist der kleine Satz von Fermat bzw. der fermatsche Primzahltest. Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Was bedeutet Restgleich?Die natürlichen Zahlen a, b heißen restgleich bei der Division durch 3, wenn jeweils der gleiche Rest bleibt.
Welchen Rest lässt die Zahl 1 2 3 4 5 6 100 bei Division durch 5?So können bei der Division durch 5 die Reste 0, 1, 2, 3 und 4 auftreten. Die Teilmengen K0, K1, K2, K3 und K4 der natürlichen Zahlen, die bei der Division durch 5 entstehen, heißen Restklassen modulo 5.
Was ist mod 7?Mode 7 ist eine Funktion zur Grafikdarstellung, der vom japanischen Hersteller Nintendo für seine Spielkonsole SNES entwickelt wurde und später auch auf dem Game Boy Advance zur Verfügung stand.
Warum kann der Rest beim Teilen durch 5 nicht größer als 4 sein?Nur gerade Zahlen sind durch 2 (ohne Rest) teilbar, ungerade Zahlen nicht. Eine Zahl ist nur dann durch 4 teilbar, wenn die aus den letzten 2 Ziffern gebildete Zahl durch 4 teilbar ist. Eine Zahl ist durch 5 (ohne Rest) teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 5 oder 0 ist.
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9 gleich restklasse
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