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1 Jahrgangsstufen 1+2 MATHEMATIK FÜR BERUFLICHE GYMNASIEN2 92 1 Fortführung der Differenzialrechnung 1.6 Funkt... MATHEMATIK FÜR BERUFLICHE GYMNASIEN Jahrgangsstufen 1+2 92 1 Fortführung der Differenzialrechnung 1.6 Funktionenscharen 1.6.1 Funktionenscharen – Ortlinie Aufgabe 1 a) Rechts sehen Sie die Graphen der Funktionen zu f1 (x) = x (x – 1)2, f2 (x) = x (x – 2)2 und f3 (x) = x (x – 3)2. Beschreiben Sie diese. Äußern Sie Vermutungen. b) Diese Funktionen haben alle einen Funktionsterm der Form fa (x) = x (x – a)2 mit einem Parameter a > 0. Bestimmen Sie allgemein die Nullstellen und die Extrempunkte dieser Funktionen. c) Betrachten Sie die Hochpunkte aller Graphen der Funktionen aus Teilaufgabe b). Alle diese Hochpunkte liegen auf einer Linie, die man als Graph einer Funktion auffassen kann. Bestimmen Sie deren Funktionsgleichung. Lösung Globalverlauf: Verhalten der Funktionswerte f (x) für x → ∞ und x → – ∞ a) Alle drei Graphen haben denselben Globalverlauf und verlaufen durch den Ursprung. Die zweite Nullstelle der drei Graphen ist eine doppelte Nullstelle bei 1 bzw. 2 bzw. 3. Ferner haben alle Graphen zwischen den beiden Nullstellen einen Hochpunkt. b) Globalverlauf Allgemein gilt: fa (x) = x (x – a)2 → ∞ für x → ∞ und fa (x) → – ∞ für x → – ∞ Nullstellen fa (x) = 0, also x (x – a)2 = 0 x = 0 oder (x – a)2 = 0 x = 0 oder x = a Die Funktion fa hat somit an der Stelle 0 eine einfache und an der Stelle a eine doppelte Nullstelle, also eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel. Wegen des Globalverlaufs einer ganzrationalen Funktion 3. Grades liegt bei der doppelten Nullstelle zugleich ein Tiefpunkt vor. Extrempunkte Zum Berechnen der Extrempunkte benötigt man die 1. Ableitung. Zum Bilden der Ableitung wird der Funktionsterm zunächst ausmultipliziert: fa (x) = x (x – a)2 = x (x2 – 2 a x + a2) = x3 – 2 a x2 + a2 x. Daraus ergibt sich: f9a(x) = 3 x2 – 4 a x + a2. An den Extremstellen hat die 1. Ableitung den Wert 0. f9a(x) = 0 3 x2 – 4 a x + a2 = 0 x = }3a oder x = a. Wegen der Nullstellen und des Globalverlaufs muss an der Stelle a ein Tiefpunkt und an der Stelle }3a ein Hochpunkt vorliegen. Der Tiefpunkt hat die Koordinaten Ta (a | 0). Für den Hochpunkt muss noch die y-Koordinate berechnet werden: 4 3 a fa _ }3a + = }3a _ }3a – a +2 = } 27 4 3 Der Hochpunkt des Graphen zur Funktion fa hat die Koordinaten Ha _ }3a | } a . 27 + 93 1.6 Funktionenscharen c) Der Hochpunkt hat in Abhängigkeit vom Parameter a die Koordinaten x = }3a und y = Graphen zu bestimmen, 4 } a3. Um eine Funktionsgleichung für den 27 auf dem die Hochpunkte liegen, suchen wir eine Vorschrift, wie man die y-Koordinate aus der x-Koordinate berechnen kann. Da diese Vorschrift unabhängig vom Parameter a sein muss, formen wir die Gleichung für die x-Koordinate zunächst nach a um: x = }3a liefert a = 3 x. Diesen Term für a setzen wir dann in die Gleichung für die y-Koordi4 (3 x)3 = 4 x3. Somit liegen alle Hochnate ein: a = 3 x, also y = } 27 punkte auf dem Graphen der Funktion zu y = 4 x3. Information (1) Funktionenschar Ein Term, der neben einer Funktionsvariablen (z. B. der Variablen x) noch einen Parameter (z. B. die Variable a) enthält, definiert mehrere Funktionen zugleich: Zu jeder zulässigen Wahl des Parameters a gehört eine Funktion x ° fa(x). Die Menge aller dieser Funktionen bezeichnet man als Funktionenschar. Beispiel: fa (x) = 1}2 (x – a)2 + 1}2 a (2) Ortslinie Statt Ortslinie verwendet man oft auch den Begriff Ortskurve. Einen Graphen, auf dem alle Hochpunkte einer Funktionenschar liegen, bezeichnet man als Ortslinie der Hochpunkte. Entsprechend erhält man die Ortslinie für andere markante Punkte, z.B. Wendepunkte. Vorgehen zum Bestimmen einer Ortslinie Die Koordinaten für die betrachteten Punkte werden in Abhängigkeit vom Parameter bestimmt. • Die Gleichung für die x-Koordinate wird nach dem Parameter aufgelöst. • Damit wird der Parameter in der Gleichung für die y-Koordinate ersetzt. • Die entstandene Gleichung beschreibt die Ortslinie. Beispiel fa (x) = (x – a) 3 + 1}4 a2 Die Graphen von fa entstehen aus dem der Kubikfunktion zu f0 (x) = x3 durch Verschieben um a nach rechts und 1}4 a2 nach oben. Somit hat fa an der Stelle a einen Wendepunkt. Die Ortslinie der Wendepunkte Wa _ a | 1}4 a2 + ist der Graph zu g (x) = 1}4 x2. 94 Weiterführende Aufgaben 1 Fortführung der Differenzialrechnung 2 Klassifikation der Funktionen einer Schar Betrachten Sie die Funktionenschar mit dem Term fa (x) = x (x2 – a) für a ∈ R. Je nach dem Wert für den Parameter a sehen die Graphen verschieden aus. Führen Sie eine Fallunterscheidung durch und fertigen Sie eine Übersicht an, welche Formen von Graphen möglich sind. 3 Nicht alle Punkte auf der Ortslinie haben eine Bedeutung Betrachten Sie die Funktionenschar fa (x) = a (x – a)2. Bestimmen Sie die Ortslinie der Extrempunkte. Untersuchen Sie, ob jeder Punkt auf dieser Ortslinie der Extrempunkt eines Graphen der Schar ist. 4 Zeichnen der Graphen von Funktionsscha- ren mit dem Funktionsplotter Untersuchen Sie, wie man bei der Software Graphix vorgehen kann, um Funktionenscharen einzugeben. Zeichen Sie dann die Graphen der Funktionenschar fk mit fk (x) = (x – k)2 + k für ausgewählte Parameterwerte k. Übungsaufgaben 5 Flugbahnen beim Kugelstoßen – Funktionenschar Flugbahnen beim Kugelstoßen können sehr gut durch quadratische Funktionen der Form f (x) = a x2 + b x + c beschrieben werden, wenn man vom Einfluss des Luftwiderstandes absieht. Dabei hängen die Werte für a und b von der Abstoßgeschwindigkeit und dem Abstoßwinkel des Stoßes ab, der konstante Summand c gibt die Abstoßhöhe an. Bei den Olympischen Spielen 2004 in Athen erhielt Nadine Kleinert-Schmitt die Silbermedaille im Kugelstoßen der Frauen. Sie verbesserte bei diesem Wettbewerb ihre persönliche Bestleistung von 19,23 m auf 19,55 m. Bei diesem Versuch wurden als Abstoßgeschwindigkeit 13,24 m }, s als Abstoßwinkel 37,5° und als Abstoßhöhe 2,07 m gemessen. Die Flugbahn bei diesem Stoß lässt sich näherungsweise durch die Funktion f mit f (x) = – 0,0445 x2 + 0,7673 x + 2,07 beschreiben. a) Stellen Sie die Flugbahn grafisch dar. Welche Stoßweite erhält man bei dieser Näherungskurve? Geben Sie Gründe für die Abweichung vom gemessenen Wert an. b) Bei Spitzensportlern schwanken die Abstoßhöhen je nach Körpergröße und Stoßtechnik zwischen 1,90 m und 2,30 m. Im Folgenden soll untersucht werden, welchen Einfluss die Abstoßhöhe auf die Stoßweite hat, wenn Abstoßgeschwindigkeit v0 und Abstoßwinkel α konstant bleiben. Geben Sie die Funktionsgleichung der Funktionenschar fh an. Ersetzen Sie dazu in der Funktion f die Abstoßhöhe 2,07 m des Versuchs von Nadine Kleinert-Schmitt durch den allgemeinen Parameter h. v0 = 13,24 m } s und α = 37,5° werden als konstant vorausgesetzt. Wie wirkt sich eine Änderung des Parameters h auf die Graphen der Schar aus? Stellen Sie für mehrere Werte von h die zugehörigen Flugbahnen in einem gemeinsamen Koordinatensystem dar. Wie unterscheiden sich die Stoßweiten, wenn h sich in dem angegebenen Bereich ändert? Geben Sie eine Faustregel an. 95 1.6 Funktionenscharen 6 Gegeben sind die Funktionen fa mit fa (x) = x2 + a x + a, a ∈ R. a) Untersuchen Sie die Graphen der Funktionen fa auf Extrempunkte. Skizzieren Sie den Graphen für a = – 2, für a = 0 und für a = 2. b) Zeigen Sie, dass alle Extrempunkte der Graphen der Schar fa auf der Parabel mit y = – x2 – 2 x liegen. c) Für welche Werte für a liegt der Extrempunkt des Graphen von fa oberhalb der x-Achse? 7 Geben Sie jeweils eine Funktionenschar an, zu der die folgenden Funktionsgraphen gehören. a) 8 b) c) In der nebenstehenden Abbildung sind Heiz- kennlinien für eine Heizungsanlage dargestellt. Sie geben jeweils die Heizwassertemperatur (in °C ) in Abhängigkeit von der Außentemperatur (in °C) für verschiedene Einstellungen an der Anlage an. Ermitteln Sie einen Funktionsterm fk (x), der die Heizkennlinien in Abhängigkeit vom Parameter k, 0 ≤ k ≤ 20 beschreibt. Wählen Sie als Ansatz eine Parabelschar. 9 Gegeben sind die Funktionen fk mit fk (x) = x4 – k x2, k ∈ R. a) Untersuchen Sie die Graphen der Funktionen fk auf Extrem- und Wendepunkte. Skizzieren Sie den Graphen für k = – 2 und für k = 2. b) Bestimmen Sie die Ortslinie für die Tiefpunkte aller Funktionsgraphen. c) Es sind xe ° 0 eine Extremstelle und xw eine Wendestelle von fk für k > 0. x e Zeigen Sie: Das Verhältnis } xw hängt nicht von k ab. Was bedeutet diese Aussage? 10 Gegeben sind die Funktionen fk mit fk (x) = x2 – k x3, k ∈ R. a) Bestimmen Sie die Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen der Graphen der Funktionen fk. b) Für welchen Wert k hat die Funktion fk an der Stelle x = 100 eine Nullstelle? c) Bestimmen Sie die Ortslinie der Wendepunkte der Graphen aller Funktionen fk . d) Welcher von allen Extrempunkten hat vom Punkt P (0|2) minimalen Abstand? 11 Gegeben sind die Funktionen fk mit fk (x) = 2 x3 – 3 k x2 + k3, k ∈ R. a) Zeigen Sie, dass für k ° 0 alle Funktionen die x-Achse berühren. b) Skizzieren Sie die Graphen für k = – 1 und k = 1. Was fällt auf? Begründen Sie Ihre Vermutung. c) Untersuchen Sie, welche Beziehung zwischen den Graphen von fk und f– k mit k > 0 besteht. 96 1 Fortführung der Differenzialrechnung 12 Gegeben ist die Funktionenschar fk mit fk (x) = (x2 – 1)·(x – k), k ∈ R. a) Zeigen Sie, dass sich alle Funktionsgraphen in zwei Punkten schneiden. b) Bestimmen Sie k so, dass der Graph von fk die x-Achse berührt. 13 Gegeben ist die Funktionenschar ft mit ft (x) = x5 – t x3, t ∈ R. Untersuchen Sie die Graphen der Funktionen ft auf besondere Punkte. Zeichnen Sie die Graphen von ft für t = – 3 und für t = 3. Bestimmen Sie eine Ortslinie für alle Extrempunkte der Graphen von ft. 14 Für k ∈ R ist fk (x) = – x3 + k x2 + (k – 1) x. a) Zeigen Sie, dass sich alle Funktionsgraphen in genau zwei Punkten schneiden. b) Bestimmen Sie k so, dass der Graph von fk an der Stelle x = 3 einen Extrempunkt hat. c) Für welchen Wert des Parameters k hat der Graph von fk keinen Extrempunkt? d) Gibt es Parameter k, sodass der Graph von fk keinen Wendepunkt hat? 15 a) Für k ∈ R ist fk (x) = – (x – k)2 + k. Zeichnen Sie mithilfe eines Funktionsplotters die Graphen von fk für k = – 2; – 1,75; – 1,5; …; 1,75; 2. b) Stellen Sie eine Vermutung auf bezüglich einer gemeinsamen Tangente für die Graphen aller Funktionen fk, k ∈ R. Prüfen Sie diese Vermutung durch Widerlegen oder Beweisen. 16 Zwei Masten A und B einer Seilbahn stehen 500 m auseinander. Der Mast B liegt um 100 m höher als Mast A. Das Seil zwischen den beiden Masten kann durch die Graphen der Funktionenschar ft mit ft (x) = t x2 + (0,2 – 500 t) x beschrieben werden (Einheiten in m). a) Welche Werte kommen für den Parameter t in Frage? Stellen Sie für einige dieser Werte den Verlauf des Seils grafisch dar. b) Bei welcher Form des Seils kommt das Seil unter einem Winkel von 45° in der Bergstation an? Unter welchem Winkel verlässt in diesem Fall das Seil die Talstation? c) Zeichnet man die Gerade zwischen Tal- und Bergstation, so versteht man unter dem Durchhang des Seiles an einer Stelle x die Differenz zwischen den Funktionswerten der linearen Funktion und der quadratischen Funktion an dieser Stelle. Ermitteln Sie für den Verlauf des Seils aus Teilaufgabe b) auf grafischem Weg möglichst genau die Stelle, an der der Durchhang am größten ist. 17 Zu jedem t ∈ R ist eine Funktionenschar ft gegeben durch ft (x) = 1}4 x4 + t x3 – x2. a) Zeichnen Sie die Graphen zu den Parametern t = 0, t = 0,2 und t = – 0,2 in ein gemeinsames Koordinatensystem. b) Begründen Sie, dass sich die Tangenten an den Wendestellen der Graphen auf der y-Achse schneiden. Geben Sie die Koordinaten dieses Schnittpunktes an. c) Untersuchen Sie, ob es mehr als einen Punkt gibt, durch den alle Graphen von ft gehen. Bestimmen Sie die Anzahl der gemeinsamen Punkte der Graphen von ft mit der x-Achse. 97 1.6 Funktionenscharen 1.6.2 Funktionenscharen in wirtschaftlichen Zusammenhängen Aufgabe 1 Kosten in Abhängigkeit der Fehlertoleranz Die Abbildung rechts zeigt die Graphen von Kostenfunktionen des produzierenden Unternehmens Schmidt AG im Polypol. Das Unternehmen produziert u.a. Designervasen. Bei der Produktion von Vasen kann es sowohl zu Fehlern in der Form als auch in der Farbe kommen. Die Unternehmensleitung kann unterschiedliche Fehlertoleranzen in der Produktion vorgeben. Eine geringe Fehlertoleranz t bedeutet, dass kaum Fehler akzeptiert werden. Eine hohe Fehlertoleranz bedeutet, dass mehr Fehler toleriert werden. Die Produktionskosten sind größer, wenn nur wenig Fehler toleriert werden, und kleiner, wenn mit einer höheren Fehlertoleranz gearbeitet wird, also mehr Fehler akzeptiert werden. a) Beschreiben Sie den Verlauf der verschiedenen Kostenfunktionen in der Abbildung rechts. b) Die Kosten lassen sich modellieren mithilfe des Funktionsterms Kt (x) = x3 – t x2 + 50 x + 40 mit t = 5, 8, 10, 12, 13 (von links nach rechts). Prüfen Sie anhand der Koeffizienten von Kt (x), für welche dieser fünf Parameterwerte t der Funktionsterm eine ertragsgesetzliche Kostenfunktion beschreibt. c) Der Übergang vom degressiven zum progressiven Kostenverlauf wird in den Wendepunkten der Graphen von Kt erreicht. Bestimmen Sie die Wendepunkte der Kurvenschar. Ermitteln Sie die zugehörige Ortskurve und zeichnen Sie diese zusätzlich ein. d) Das Unternehmen hat folgende Erlösfunktion ermittelt: E (x) = 50 x. Bestimmen Sie die Gewinnfunktion Gt und ermitteln Sie die gewinnmaximale Ausbringungsmenge und das Gewinnmaximum in Abhängigkeit von t sowie die zugehörige Ortskurve des Gewinnmaximums. Untersuchen Sie mithilfe der Ortskurve, bei welcher ganzzahligen Fehlertoleranz das Gewinnmaximum größer ist als null und geben Sie die zugehörige Produktionsmenge an. e) Prüfen Sie mithilfe eines Funktionsplotters die folgenden Aussagen: (1) Je größer die Fehlertoleranz t, desto größer ist der maximale Gewinn. (2) Je größer die Fehlertoleranz t, desto größer die Gewinnschwelle. (3) Die Höhe des Verlusts beim Stillstand der Produktion ist unabhängig von t. Lösung a) Alle Funktionsgraphen schneiden die y-Achse im selben Punkt, d. h., die fixen Kosten bleiben bei jeder Fehlertoleranz gleich. Bis auf den pink (lila) gezeichneten Graphen sind alle Graphen im betrachteten Bereich streng monoton steigend, d. h., bei größeren Produktionsmengen entstehen größere Kosten. Der pink (lila) gezeichnete Graph modelliert somit keine ertragsgesetzliche Kostenfunktion. Die Funktionsgraphen zeigen unterschiedliches Steigungsverhalten, d. h. der Kostenzuwachs ist bei einigen Kostenverläufen stärker als bei anderen. Man erkennt, dass bei einer niedrigeren Fehlertoleranz insgesamt mit höheren Kosten zu rechnen ist, denn die Graphen liegen dann über den Graphen mit höherem Toleranzwert t. Dies kann z. B. an kostenintensiveren Kontrollen liegen oder an einer größeren Menge produzierter Ausschussware. 98 1 Fortführung der Differenzialrechnung b) Im Abschnitt 1.3.6 haben wir gelernt, welche Bedingungen für die Koeffizienten einer ertragsgesetzlichen Kostenfunktion K mit K (x) = a x3 + b x2 + c x + d gelten müssen: a > 0, b < 0, c > 0, d > 0 sowie b2 < 3 a c. Für den Funktionsterm gilt hier a = 1, damit auch a > 0, und c = 50, also auch c > 0 sowie d = 40 und damit auch d > 0. Darüber hinaus muss noch die Bedingung b > 0 erfüllt sein, also hier t > 0, und schließlich _ auch b2 < 3 a c, d. h. hier (– t)2 < 3 · 1 · 50, also t < √ 150 ≈ 12,247. Zusammen ergibt sich für den Parameter t die Bedingung, dass 0 < t < 12,247 erfüllt sein muss. Der Graph für t = 13 zeigt also keine ertragsgesetzliche Kostenfunktion. c) Zur Bestimmung der Wendepunkte benötigt man die Ableitungen der Kostenfunktion: K t′ (x) = 3 x2 – 2 t x + 50 und Kt′′ (x) = 6 x – 2 t und Kt′′′ (x) = 6. Die notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Wendepunktes ist: K t′′ (x) = 0, also 6 x – 2 t = 0 oder x = 1}3 t Da die 3. Ableitung konstant gleich 6 ist, also überall ungleich null, ist auch die hinreichende Bedingung erfüllt. Berechnung der y-Koordinate der Wendepunkte: [ ] 3 2 Kt _ 1}3 t + = _ 1}3 t + – t _ 1}3 t + + 50 1}3 t + 40 2 t3 + 50 t + 40. = –} } 27 3 2 t3 + 50 t + 40 . Damit ist Wt _ 1}3 t | – } } + 27 3 Um die Gleichung der Ortskurve zu bestimmen, entnehmen wir dem Zusammenhang zwischen der x-Koordinate der Wendepunkte und dem Parameterwert t, also x = 1}3 t die Darstellung t = 3 x. In die Gleichung für die y-Koordinate eingesetzt erhält man die Gleichung der Ortskurve 2 (3 x)3 + 50 3 x + 40 = – 2 x3 + 50 x + 40. OW (x) = – } } 27 3 d) Die Gewinnfunktion Gt ergibt sich aus der Differenz von Erlösfunktion E und Kostenfunktion Kt : Gt (x) = E (x) – Kt (x) = 50 x – (x3 – t x2 + 50 x + 40) = – x3 + t x2 – 40. Zur Bestimmung des Gewinnmaximums benötigt man die 1. und 2. Ableitung von Gt : Gt′ (x) = – 3 x2 + 2 t x und Gt′′ (x) = – 6 x + 2 t. Die notwendige Bedingung für das Vorliegen des Gewinnmaximums ist: – 3 x3 – 2 t x = 0 Auf der linken Seite der Gleichung kann man x ausklammern: x (– 3 x + 2 t) = 0 Es gilt also x = 0 oder – 3 x + 2 t = 0, d. h. x = 2}3 t Überprüfung (hinreichende Bedingung für Extremstellen) mithilfe der zweiten Ableitung ergibt: Gt′′ (0) = 2 t > 0, also ein Tiefpunkt bei x = 0. Gt′′ _ 2}3 t + = – 2 t < 0, also ein Hochpunkt bei x = 2}3 t. Um die Höhe des maximalen Gewinns zu bestimmen, berechnen wir den Funktionswert an dieser Stelle: 3 2 4 3 t – 40 Gt _ 2}3 t + = – _ 2}3 t + + t _ 2}3 t + – 40 = } 27 99 1.6 Funktionenscharen 4 t3 – 40 . Die Hochpunkte der Graphen liegen also in Ht _ 2}3 t | } + 27 Zur Bestimmung der Ortskurve durch diese Hochpunkte formen wir wieder um: Aus x = 2}3 t wird t = 3}2 x. Einsetzen in die Gleichung der y-Koordinate ergibt die Gleichung der Ortskurve 3 4 3 1 OH (x) = } } x – 40 = } x3 – 40. 27 _ 2 + 2 Um herauszufinden, für welche Parameterwerte t das Gewinnmaximum positiv ist, bestimmen wir die Nullstelle der Ortskurve von OH : Es gilt OH (x) = 0 für 1}2 x3 – 40 = 0, also für x ≈ 4,31. Der zugehörige Parameterwert ergibt sich aus dem Zusammenhang zwischen x-Koordinate des Hochpunkts und zugehörigem Parameterwert t: Wegen t = 3}2 x folgt t = 6,465. Also wird ab einer Fehlertoleranz von t = 7 Gewinn erzielt. e) Anhand der Graphen für t = 8, 10 und 12 erkennt man, dass Aussage (1) richtig ist. An der y-Koordinate des Gewinnmaximums lässt sich ebenfalls erkennen, dass bei größerem t der Gewinn ebenfalls wächst. Aussage (2) ist falsch da bei größerem t die Gewinnschwelle nach links wandert. Aussage (3) ist richtig. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist immer gleich: Gt (0) = – 40 Übungsaufgaben 2 Der Kostenverlauf eines Produktes des Monopolbetriebes Lauer GmbH wird durch die Funktion Ka mit Ka (x) = 0,05 x3 – 3 x2 + a x + 1 000 mit x ∈ [0; 100] beschrieben. Dabei hängt a von den Schwankungen des Weltmarktpreises eines verwendeten Rohstoffes ab. a) Prüfen Sie, für welche Werte des Parameters t der Funktionsterm eine ertragsgesetzliche Kostenfunktion beschreibt. b) Berechnen Sie, ab welcher Produktionsmenge der Kostenverlauf progressiv ist. c) Ermitteln Sie das Betriebsminimum und zeigen Sie, dass es unabhängig von a ist. d) Das Monopolunternehmen hat die Preisabsatzfunktion p mit p(x) = – 1,5 x + 150 ermittelt. Bestimmen Sie die Gewinnfunktion in Abhängigkeit von a und ermitteln Sie die Ortskurve des Gewinnmaximums. 3 Ein Verlag hat ein Fachbuch auf den Markt gebracht und verkauft es zu einem Preis von 49,95 €. An diesem Buch hat ein Team von drei Autoren mitgewirkt, die an den Einnahmen aus dem Verkauf des Buches beteiligt werden sollen. Der Verlag rechnet bei der Herstellung und dem Buchdruck mit Kostenfunktion K mit K (x) = 0,1 x2 + x + 4 000 und geht von einer linearen Erlösfunktion aus. a) Stellen Sie die Erlös- und die Gewinnfunktion für den Verlag in Abhängigkeit des Autorenanteils a auf und ermitteln Sie die Gewinnschwelle in Abhängigkeit von a. b) Der Verlag möchte den Anteil der Autoren so gestalten, dass die Gewinnschwelle bei 130 Stück liegt. Bestimmen Sie den zugehörigen Wert von a. c) Die Autoren fordern einen Anteil von 20 %. Der Verlag behauptet, dass sie dann selbst keinen Gewinn mehr erwirtschaften würden. Nehmen Sie Stellung zu dieser Aussage. 100 1 Fortführung der Differenzialrechnung 4 Die Gewinnsituation der Meier GmbH lässt sich durch die folgende Funktion beschreiben: 2 Ga (x) = – x3 + 120 } a x – 24 Dabei gibt a den Qualitätsstandard des Produktes an. Dieser kann nur zwischen 1 und 30 liegen. a) Prüfen Sie die Aussage des Produktionsleiters „Je größer unser Qualitätsstandard, desto geringer die Gewinne.“ b) Ermitteln Sie die Größe des Qualitätsstandard, ab dem Gewinne erzielt werden können. c) Berechnen Sie den Qualitätsstandard, bei dem die Gewinnschwelle bei einer Produktionsmenge von 2 ME erreicht wird. d) Bestimmen Sie die Ortskurve der Gewinnmaxima und ermitteln Sie den Qualitätsstandard, bei dem das Gewinnmaximum bei einer Produktion von 8 ME erreicht wird. 5 Das Marktforschungsinstitut INfos hat im Auf- trag eines großen Möbelherstellers eine Umfrage zum Käuferverhalten bei Esstischen durchgeführt. Dazu wurden Käufer befragt im Alter von: 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60 Jahren. Das Nachfrageverhalten wird durch die Funktion pN (x) = – 0,2 a x + 24 a beschrieben, wobei a das Alter der befragten Personen und x die Produktionszahlen in ME angibt. Je älter die Personen sind, desto größer ist der Höchstpreis (Prohibitivpreis) (der Preis zu dem Käufer nicht mehr bereit oder in der Lage sind, auch nur eine Mengeneinheit zu kaufen). Eine Preisminderung führt bei älteren Menschen zu einem schwächeren Anstieg des Kaufverhaltens als bei jüngeren. Man sagt auch: Ältere Menschen reagieren weniger preiselastisch. Das Verhalten des Monopolanbieters beschreibt die Angebotsfunktion pA mit pa (x) = 2 x + 120 a) Zeigen Sie, dass die Sättigungsmenge vom Alter unabhängig ist und erläutern Sie ihre ökonomische Bedeutung. b) Bestimmen Sie die Menge und den Preis im Marktgleichgewicht in Abhängigkeit von a. c) Die Kosten des Auftraggebers für die Tischproduktion werden durch die Kostenfunktion K beschrieben mit K (x) = 2 x3 – 10 x2 + 30 x + 100. Der Anbieter bietet die Tische zum Preis im Marktgleichgewicht an. Ermitteln Sie seine möglichen maximalen Gewinne in Abhängigkeit des Alters der Käufer. d) Als Zielgruppe sollen die 20-jährigen [die 50-jährigen] angesprochen werden; der Hersteller bietet die Tische zum Preis im Marktgleichgewicht an. Bestimmen Sie den maximalen Gewinn. e) Ermitteln Sie mithilfe eines CAS oder einer Tabellenkalkulation, ab welcher Altersgruppe der maximale Gewinn über 1 500 GE liegt. 101 1.6 Funktionenscharen 6 Das Unternehmen Portis GmbH produziert und vertreibt homöopathische Arzneimittel. Für die neuen AKTIVAN Kreislauftropfen wurde folgende Kostenfunktion K ermittelt mit K (x) = 0,001 x3 – 0,01 x2 + x + 600. Dabei gibt x die Anzahl der 50 ml - Flaschen in Vielfachen von 100 Stück und K (x) die Kosten in Euro an. Den Verkaufspreis hat das Unternehmen in der Einführungsphase, in der es als Monopolanbieter auftritt, auf 15,95 € festgelegt. a) Stellen Sie die Erlös- und Gewinnfunktion auf und ermitteln Sie die Ausbringungsmenge, bei der das Unternehmen maximalen Gewinn erzielt. Berechnen Sie die Höhe des maximal zu erzielenden Gewinns. b) Da die Tropfen noch nicht auf dem Markt bekannt sind, beauftragt Portis eine Werbeagentur mit der Entwicklung einer Werbekampagne in einschlägigen Zeitschriften. Diese soll einmalig 500 € kosten. Hinzu kommen Kosten für Werbekontakte in Höhe von 0,15 € pro Werbekontakt. 1 w, wobei w Die Werbung hat unmittelbaren Einfluss auf den Erlös. Er erhöht sich um den Faktor } 1 000 die Anzahl der Werbekontakte angibt. Stellen Sie die neue Kosten- und Erlösfunktion in Abhängigkeit des Parameters w auf. Zeichnen Sie die Kurvenscharen mithilfe eines Funktionsplotters und beschreiben Sie die veränderten Verläufe der Graphen der Kosten- und Erlösfunktion. c) Bestimmen Sie die Anzahl der Werbekontakte, ab der ein größerer maximaler Gewinn erzielt werden kann als ohne Werbung. 7 Herr Meier hat sich mit der Herstellung von speziellen Alkopops selbständig gemacht und ist § Alkopopsteuergesetz zunächst Monopolanbieter. Die Alkopops, die Herr Das Alkopopsteuergesetz ist Teil einer Gesetzesinitiative zur Verbesserung des Schutzes junger Menschen vor den Gefahren des Alkoholkonsums. Laut diesem Gesetz beträgt die Steuer für einen Hektoliter reinen Alkohol, gemessen bei einer Temperatur von 20 Grad Celsius, 5 550 Euro. Hinzu kommt die Mehrwertsteuer in Höhe von 19 %, die auch auf die Alkopopsteuer erhoben wird. Meier herstellt, haben einen Alkoholanteil von 5 %. Die Alkopops füllt er in 275-ml-Flaschen ab. Seine Kosten kalkuliert er gemäß der Funktion K mit: K (x) = 0,2 x + 100 a) Die Preisnachfragefunktion ist gegeben durch pN (x) = – 0,001 x + 2,8, wobei x die nachgefragte Menge in Stück angibt. Stellen Sie die Erlös- und Gewinnfunktion auf. Wie viele Flaschen kann er bei einem Preis von 1,00 € absetzen? Wie hoch ist dann sein Gewinn? b) Zeigen Sie, dass Herr Meier bei einem Preis von 1,50 € den maximalen Gewinn erzielen kann. Wie hoch ist dieser? c) Vor Einführung des Alkopopsteuergesetzes wurde eine Flasche für 1,26 € (ohne Berücksichtigung der MWST) verkauft. Berechnen Sie den neuen Preis je Flasche. d) Sinn der Steuer war es, Jugendliche vom Kauf der Alkopops abzuhalten. Zeigen Sie, dass nur noch ungefähr ein Drittel so viele Flaschen bei dem erhöhten Preis von 2,40 € abgesetzt werden. e) Da Herr Meier die eingenommene Steuer wieder abführen muss, rechnet er bei seiner Kostenkalkulation mit folgender neuer Kostenfunktion KS mit KS (x) = (0,2 + s · 1,19) x + 100. Dabei gibt s den Betrag der Alkopopsteuer an. Ermitteln Sie die Gewinnfunktion und bestimmen Sie den Wert für s, bei dem der maximale Gewinn bei einer Menge von 705 Stück erreicht wird. |
Bestimmen sie die extrempunkte des graphen von fa in abhängigkeit von a
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