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(00:26) Ein Urnenmodell dient in der Stochastik zur vereinheitlichten Darstellung und Modellierung von Zufallsexperimenten. Du kannst mithilfe eines Urnenmodells aber nicht nur die Frage beantworten „Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit zwei weiße Kugeln zu ziehen?“, sondern zum Beispiel auch die Anzahl an Möglichkeiten bestimmen in welcher Reihenfolge die Kugeln gezogen werden. So lassen sich beispielsweise Alltagssituationen abbilden und man kann so die Wahrscheinlichkeit berechnen für die verschiedenen Szenarien. Das Urnenmodell verwendet dazu einen Behälter, zum Beispiel eine Kiste, in der sich verschiedene, sagen wir schwarze und weiße Kugeln befinden. Nun werden aus der Kiste, ohne hineinzusehen, Kugeln gezogen und es wird notiert, ob diese schwarz oder weiß sind. Dabei gibt es verschiedene Varianten wie dieses Zufallsexperiment durchgeführt wird. Man unterscheidet, ob eine gezogene Kugel wieder zurückgelegt wird und ob die Reihenfolge eine Rolle spielt oder nicht. Kombinatorik UrnenmodellGenerell unterschiedet man in der Kombinatorik zwischen Stichproben mit Reihenfolge, die dann Variation genannt werden, und Stichproben ohne Reihenfolge, die Kombination genannt werden. Je nachdem, ob man die Kugeln dann noch zurück legt oder nicht, ergeben sich dann die verschiedenen Urnenmodelle.  direkt ins Video springen Kombinatorik Variation KombinationZiehen ohne Zurücklegen ohne Reihenfolgeim Videozur Stelle im Video springen (00:39) So los geht es mit Kombination ohne Wiederholung. Du hast es also mit dem Szenario zu tun, dass die Reihenfolge der Ergebnisse des Zufallsexperimentes keine Rolle spielt und das Ergebnis nicht erneut eintreten kann, wenn es bereits aufgetreten ist. Urnenmodell ohne Zurücklegen ohne ReihenfolgeSchauen wir uns das Ganze gleich anhand eines praktischen Beispiels an. Stell dir vor du hast eine Kiste mit 8 schwarzen und 4 weißen Kugeln. Nun nimmst du nacheinander 4 Kugeln aus der Kiste, ohne sie danach zurückzulegen. Jetzt möchtest du wissen, wie viele mögliche Ergebnisse du bei dieser Ziehung erhalten kannst. Das bestimmst du mit Hilfe des Binomialkoeffizienten. Hier zur Wiederholung nochmal die Formel: N steht hierbei für die Anzahl an Elementen insgesamt und klein k für die Anzahl an Ziehungen. Wir rechnen also: direkt ins Video springen Ziehen ohne Zurücklegen ohne ReihenfolgeEs gibt also 495 Möglichkeiten die Kugeln aus der Urne zu ziehen. Wahrscheinlichkeit ohne Zurücklegen ohne ReihenfolgeAls nächstes möchtest du die Wahrscheinlichkeit bestimmen, genau eine schwarze Kugel zu ziehen. Um das zu berechnen, musst du wissen, dass diesem Zufallsexperiment die hypergeometrische Verteilung zugrunde liegt. Mithilfe der Formeln der Verteilung kannst du diese Aufgabe lösen. Genauer gesagt verwenden wir die Funktion für die Dichte der hypergeometrischen Verteilung, denn diese Wahrscheinlichkeitsfunktion gibt ja die Wahrscheinlichkeit im diskreten Fall dafür an, genau einen Wert x zu erhalten. Zur Wiederholung hier nochmal die Formel der Funktion: N ist dabei die Anzahl der Elemente insgesamt, bei uns gilt also N ist gleich 12. M gibt die Anzahl derjenigen Elemente an, die als „Erfolg“ gesehen werden. Da wir uns ja für die schwarzen Kugeln interessieren, gilt M gleich 8. Klein n steht für die Anzahl an Elementen, die für das Zufallsexperiment gezogen werden, bei uns ist also klein n gleich 4. direkt ins Video springen Hypergeometrischen Verteilung UrnenmodellWenn du nun wissen möchtest mit welcher Wahrscheinlichkeit genau eine schwarze Kugel gezogen wird, musst du einfach die Wahrscheinlichkeit für x gleich 1 berechnen. Wenn wir alles einsetzen, erhalten wir folgende Berechnung: direkt ins Video springen Wahrscheinlichkeit ohne Zurücklegen ohne ReihenfolgeDie Wahrscheinlichkeit genau eine schwarze Kugel zu ziehen liegt also bei ungefähr 6,46%. Hier findest du nochmal die wichtigsten Formeln für Ziehen ohne Zurücklegen ohne Reihenfolge im Überblick:
direkt ins Video springen Ziehen ohne Zurücklegen FormelZiehen ohne Zurücklegen mit Reihenfolgeim Videozur Stelle im Video springen (00:21) Jetzt weißt du wie du Aufgaben zum Ziehen aus der Urne ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge lösen kannst. Bisher hat es keinen Unterschied gemacht, in welcher Reihenfolge die Kugeln gezogen wurden, also zum Beispiel erst zwei schwarze und dann zwei weiße oder anders herum. Nun betrachten wir eine Variation ohne Wiederholung, also den Fall, dass die Reihenfolge eine Rolle spielt. direkt ins Video springen Ziehen ohne Wiederholung ohne Zurücklegen: VariationUrnenmodell ohne Zurücklegen mit ReihenfolgeIn diesem Fall legen wir die Kugeln also nicht zurück und die Reihenfolge ist entscheidend für das Ergebnis. Ein anschauliches Beispiel hierfür ist, wie viele Möglichkeiten es gibt die ersten drei Plätze bei einem Beerpong-Turnier mit 15 teilnehmenden Gruppen zu besetzen. Hier macht es nämlich natürlich einen Unterschied, ob eine Gruppe auf dem ersten oder auf dem dritten Platz landet. direkt ins Video springen Ziehen ohne zurücklegen mit Reihenfolge BeispielDie Formel, um die Anzahl an Möglichkeiten zu berechnen, können wir uns ganz einfach selbst logisch herleiten. Wir haben 15 Teams, die den ersten Platz belegen können. Nachdem dieser vergeben wurde, bleiben noch 14 Teams, die eine Chance auf den zweiten Platz haben. Danach bleiben schließlich noch 13 Teams, die den dritten Platz belegen können. Um die Gesamtanzahl an Möglichkeiten zu berechnen, rechnest du also 15 mal 14 mal 13 gleich 2.730 Möglichkeiten. Formel Anzahl an MöglichkeitenDie allgemeine Formel lautet bei Ziehungen ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge N Fakultät geteilt durch N minus k Fakultät. Groß N steht dabei für die Anzahl an Elementen insgesamt, in unserem Fall sind das die 15 Teams, und klein k steht für Anzahl an Ziehungen, in unserem Fall gilt also k gleich 3 da wir ja die ersten 3 Plätze belegen möchten. Wenn wir diese Angaben einsetzen, erhalten wir auch wieder genau die 2.730 Möglichkeiten. Das war auch schon alles, was du zu Variationen ohne Zurücklegen wissen musst! Abschließend hier nochmal die allgemeine Formel zur Berechnung der Anzahl an Möglichkeiten: direkt ins Video springen Ziehen ohne zurücklegen mit Reihenfolge: Formel Anzahl MöglichkeitenAber was ist mit Variationen und Kombinationen mit Wiederholung? Unsere Videos zu Ziehen mit Zurücklegen ohne Reihenfolge und Ziehen mit Zurücklegen mit Reihenfolge machen dein Wissen zu Urnenmodellen komplett! Beliebte Inhalte aus dem Bereich WahrscheinlichkeitsrechnungWas ist eine Variation mit Wiederholung?Wir sprechen von einer Variation mit Wiederholung , wenn die Objekte mehrfach in der Auswahl vorkommen können. Wir sprechen von einer Variation mit Wiederholung , wenn die Objekte einmal in der Auswahl vorkommen können. In einer Kiste befinden sich vier verschiedenfarbige Kugeln, von denen zwei Kugeln gezogen werden.
Wie viele Möglichkeiten der Anordnung gibt es?Nehmt die Fakultät der Objekte insgesamt, also wie viele es sind. Teilt dies durch die Fakultät aller gleichen Objekte, habt ihr also zum Beispiel 6 Kugeln davon sind 4 gleich und noch mal 2 gleich, dann teilt ihr also durch 4! · 2!.
Was ist der Unterschied zwischen Kombination und Variation?Die Kombination gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, eine bestimmte Menge an Objekten aus einer größeren Gesamtmenge auszuwählen. Die Variation gibt an, wie viele Möglichkeiten existieren, eine bestimme Auswahl an Objekten zu ordnen.
Was ist der Unterschied zwischen Variation und Permutation?Bei einer Anordnung (Permutation) werden alle Elemente der Grundmenge betrachtet. Bei Auswahlen (Variationen oder Kombinationen) wird nur eine Stichprobe der Grundmenge betrachtet.
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