Wo ist cos gleich sin

Es gibt Sinus- und Kosinuswerte, die man kennen muss. Hierzu stellt man sich einfach den Einheitskreis vor, zeichnet in Gedanken das Dreieck zum Winkel ein und liest den Wert an Gegenkathete (Sinus) oder Ankathete (Kosinus) ab.

Wichtige Sinuswerte

sin(0°) = 0
sin(90°) = 1
sin(180°) = 0
sin(270°) = -1
sin(360°) = 0

Wichtige Kosinuswerte

cos(0°) = 1
cos(90°) = 0
cos(180°) = -1
cos(270°) = 0
cos(360°) = 1

Statt Gradzahlen kann man auch das Bogenmaß verwenden.

Die gleiche Aufstellung mit dem Bogenmaß (die Einheit rad schreibt man meist nicht mit, also statt 0 rad schreibt man einfach 0) lautet:

Wir wollen alle Sinus- und Kosinuswerte am Einheitskreis ablesen. Im Folgenden erläutern wir, wie das geht.

Wir sehen, dass beim Einheitskreis die Gegenkathete (siehe Wert auf der y-Achse) den Sinuswert angibt und die Ankathete (siehe Wert auf der x-Achse) den Kosinuswert.

Wir merken uns:

sin(α) = Höhe = y

cos(α) = Breite = x

Genausogut können wir sagen, der Punkt auf der Kreislinie mit P(x|y) trägt die Sinus- und Kosinuswerte in seinen Koordinaten:

P( x | y ) = P( cos(α) | sin(α) )

Wir merken uns:

Im Einheitskreis entspricht die Gegenkathete dem Sinuswert und die Ankathete dem Kosinuswert, wobei auf die Vorzeichen zu achten ist. Ebenfalls gilt: Die Koordinaten des Punktes P auf der Kreislinie des Einheitskreises geben Kosinuswert (x) und Sinuswert (y) an.

Winkel mit Sinus und Kosinus positiv bzw. negativ

Je nach gewähltem Winkel erhalten wir auch negative Werte für Sinus, Kosinus und Tangens. Hier ein Übersicht mit den vier Quadranten:

II. Quadrant
sin +
cos –
tan –I. Quadrant
sin +
cos +
tan +III. Quadrant
sin –
cos –
tan +IV. Quadrant
sin –
cos +
tan –

Wir sehen: Sinus ist im I. und II. Quadranten positiv ("oben"), Kosinus ist im I. und IV. Quadranten positiv ("rechts") und Tangens ist im I. und III. Quadranten positiv. Negative Werte erhalten wir für Sinus im III. und IV. Quadranten ("unten"), für Kosinus im II. und III. Quadranten ("links") und für Tangens im II. und IV. Quadranten.

Der Sinus eines Winkels $$alpha$$ ist die y-Koordinate des zugehörigen Punktes P auf dem Einheitskreis.

Dann trägst du die Winkel $$alpha$$ und $$sin alpha$$ in ein Koordinatensystem ein:

Die Sinusfunktion ist die eindeutige Zuordnung, die jedem Winkel $$alpha$$ die y-Koordinate des zugehörigen Punktes auf dem Einheitskreis zuordnet.

Bisher meinten die Winkelfunktionen ausschließlich Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck.
Deshalb war bisher sowas wie sin 190° Quatsch, weil ja die Innenwinkelsumme des Dreiecks nur 180° beträgt. Mit dem Einheitskreis hast du den Sinusbegriff erweitert.

Geht das auch mit dem Kosinus?

So erhältst du die Kosinus-Funktion:

kapiert.dekann mehr:

interaktive Übungen
und Tests
individueller Klassenarbeitstrainer
Lernmanager

Die Kosinusfunktion

Hier hast du die Kosinusfunktion im Überblick.

Das ist der Einheitskreis, diesmal ist $$cos alpha$$ markiert.

Du liest den Kosinuswert von $$alpha$$ auf der x-Achse ab.

Der Kosinus eines Winkels $$alpha$$ ist die x-Koordinate des zugehörigen Punktes P auf dem Einheitskreis.

Dann trägst du die Winkel $$alpha$$ und $$cos alpha$$ in ein Koordinatensystem ein:

Die Kosinusfunktion ist die eindeutige Zuordnung, die jedem Winkel $$alpha$$ die x-Koordinate des zugehörigen Punktes auf dem Einheitskreis zuordnet.

Viele Winkel - ein Sinuswert

Der Sinus von 30° ist 0,5. Wenn du weiter um den Einheitskreis wanderst, siehst du, dass auch der Sinus von 150° gleich 0,5 ist.

Graphen der Sinusfunktion (grün) und der Kosinusfunktion (blau). Beide Funktionen sind 2π2 \pi2π-periodisch und nehmen Werte von −1-1−1 bis 111 an.

Geometrische Definition

Definition am rechtwinkligen Dreieck

Abb. FO99: Dreieck mit einem rechten Winkel in CCC. (Benennung von An- und Gegenkathete unter der Annahme, dass α\alphaα der betrachtete Winkel ist.)

Sinus eines Winkels\text{Sinus eines Winkels}Sinus eines Winkels =Gegenkathete des WinkelsHypotenuse= \frac{\text{Gegenkathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}}=HypotenuseGegenkathete des Winkels

Der Kosinus ist das Verhältnis der Länge der Ankathete (das ist jene Kathete, die einen Schenkel des Winkels bildet) zur Länge der Hypotenuse.

Kosinus eines Winkels\text{Kosinus eines Winkels}Kosinus eines Winkels=Ankathete des WinkelsHypotenuse= \frac{\text{Ankathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}}=HypotenuseAnkathete des Winkels

Bei den für Dreiecke üblichen Bezeichnungen der Größen (siehe Abb. FO99) gilt hier:

sin⁡(α)=ac\sin (\alpha) = \frac{a}{c} \quadsin(α)=ca und cos⁡(α)=bc\quad \cos (\alpha) = \frac{b}{c}cos(α)=cb.

Da die Hypotenuse die längste Seite eines Dreiecks bezeichnet, gelten die Ungleichungen sin⁡(α)≤1\sin\left(\alpha\right)\leq 1sin(α)≤1 und cos⁡(α)≤1\cos\left(\alpha\right)\leq 1cos(α)≤1.

Wird statt von α\alphaα von dem gegenüberliegenden Winkel β\betaβ ausgegangen, so wechseln beide Katheten ihre Rolle, die Ankathete von α\alphaα wird zur Gegenkathete von β\betaβ und die Gegenkathete von α\alphaα bildet nun die Ankathete von β\betaβ und es gilt

sin⁡(β)=bc\sin (\beta) = \frac{b}{c}\quadsin(β)=cb und cos⁡(β)=ac\quad \cos (\beta) = \frac{a}{c}cos(β)=cacos⁡(α)=sin⁡(90∘−α)=sin⁡(β)\cos (\alpha) = \sin(90^\circ - \alpha) = \sin(\beta)cos(α)=sin(90∘−α)=sin(β)sin⁡(α)=cos⁡(90∘−α)=cos⁡(β)\sin (\alpha) = \cos(90^\circ - \alpha) = \cos(\beta)sin(α)=cos(90∘−α)=cos(β).

Satz 5220B

sin⁡2(α)+cos⁡2(α)=1\sin^2 \left(\alpha\right) + \cos^2 \left(\alpha\right) = 1sin2(α)+cos2(α)=1.

Definition am Einheitskreis

Definition am Einheitskreis.

Im rechtwinkligen Dreieck ist der Winkel zwischen Hypotenuse und Kathete nur für Werte von 000 bis 909090 Grad definiert. Für eine allgemeine Definition wird ein Punkt PPP mit den Koordinaten (x,y)(x,y)(x,y) auf dem Einheitskreis betrachtet, hier gilt x2+y2=1x^2+y^2=1x2+y2=1. Der Ortsvektor von PPP schließt mit der xxx-Achse einen Winkel α\alphaα ein. Der Koordinatenursprung (0,0)(0,0)(0,0), der Punkt (x,0)(x,0)(x,0) auf der xxx-Achse und der Punkt P(x,y)P(x,y)P(x,y) bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Länge der Hypotenuse beträgt x2+y2=1\sqrt{x^2+y^2}=1x2+y2=1. Die Ankathete des Winkels α\alphaα bezeichnet die Strecke zwischen (0,0)(0,0)(0,0) und (x,0)(x,0)(x,0) und hat die Länge xxx, es gilt also cos⁡(α)=x\cos(\alpha)=xcos(α)=x. Die Gegenkathete des Winkels α\alphaα ist die Strecke zwischen (x,0)(x,0)(x,0) und (x,y)(x,y)(x,y) und hat die Länge yyy, es gilt also sin⁡(α)=y\sin(\alpha)=ysin(α)=y.

Diese Definition lässt sich auf andere Quadranten fortsetzen: Die yyy-Koordinate eines Punktes des Einheitskreises entspricht also dem Sinus des Winkels zwischen seinem Ortsvektor und der xxx-Achse, während die xxx-Koordinate dem Kosinus des Winkels entspricht.

Analytische Definition

Definition durch Taylorreihen

Durch den Übergang vom Winkelmaß zum Bogenmaß können Sinus und Cosinus als Funktionen von R\RR nach R\RR erklärt werden. Die Taylorreihen stellen der Funktionen sin⁡(x)\sin(x)sin(x) und cos⁡(x)\cos(x)cos(x) sind:

sin⁡(x)=∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!=x1!−x33!+x55!∓⋯\sin (x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}\mp\dotsbsin(x)=∑n=0∞(−1)n(2n+1)!x2n+1=1!x−3!x3+5!x5∓⋯cos⁡(x)=∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!=x00!−x22!+x44!∓⋯\cos (x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} = \frac{x^0}{0!}-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}\mp\dotsbcos(x)=∑n=0∞(−1)n(2n)!x2n=0!x0−2!x2+4!x4∓⋯

Definition als Lösung einer Funktionalgleichung

Ein anderer analytischer Zugang ist, Sinus und Kosinus als Lösung einer Funktionalgleichung zu definieren, die im Wesentlichen aus den Additionstheoremen besteht: Gesucht ist ein Paar stetiger Funktionen sin⁡,cos⁡ ⁣:R→R\sin, \cos\colon\R\to\Rsin,cos:R→R, das für alle x,y∈Rx,y\in\Rx,y∈R die Gleichungen

sin⁡(x+y)=sin⁡(x)cos⁡(y)+cos⁡(x)sin⁡(y) ⁣\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)\!sin(x+y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)cos⁡(x+y)=cos⁡(x)cos⁡(y)−sin⁡(x)sin⁡(y) ⁣\cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)\!cos(x+y)=cos(x)cos(y)−sin(x)sin(y)

erfüllt. Die Lösung sin⁡\sinsin definiert dann den Sinus, die Lösung cos⁡\coscos den Kosinus. Um Eindeutigkeit zu erreichen, sind einige Zusatzbedingungen zu erfüllen: sin⁡(x) ⁣\sin(x)\!sin(x) ist eine ungerade Funktion, cos⁡(x) ⁣\cos(x)\!cos(x) eine gerade Funktion, lim⁡x→0sin⁡(x)x=1\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1limx→0xsin(x)=1 und cos⁡(0)=1 ⁣\cos(0)=1\!cos(0)=1.

Produktentwicklung

sin⁡(x)=x∏k=1∞(1−x2k2π2)\sin(x) = x \prod_{k=1}^\infty \left( 1 - \frac{x^2}{k^2\pi^2} \right)sin(x)=x∏k=1∞(1−k2π2x2)cos⁡(x)=∏k=1∞(1−4x2(2k−1)2π2)\cos(x) = \prod_{k=1}^\infty \left( 1 - \frac{4x^2}{(2k-1)^2\pi^2} \right)cos(x)=∏k=1∞(1−(2k−1)2π24x2)

Wertebereich und spezielle Funktionswerte

Zusammenhang zwischen Sinus und Kosinus

sin⁡(α)=−cos⁡(α+90∘)=cos⁡(α−90∘)\sin(\alpha)=-\cos\left(\alpha + 90^\circ \right)=\cos\left(\alpha-90^\circ\right)sin(α)=−cos(α+90∘)=cos(α−90∘) (Gradmaß)sin⁡(α)=−cos⁡(α+π/2)=cos⁡(α−π/2)\sin(\alpha)=-\cos\left(\alpha + \pi/2 \right)=\cos\left(\alpha - \pi/2\right)sin(α)=−cos(α+π/2)=cos(α−π/2) (Bogenmaß)

Insbesondere folgt daraus ∣sin⁡α∣≤1|{\sin\alpha}|\leq 1∣sinα∣≤1 und ∣cos⁡α∣≤1|{\cos\alpha}|\leq 1∣cosα∣≤1.

Wichtige Funktionswerte

Da Sinus und Kosinus periodische Funktionen mit der Periode 2π2 \pi2π (entspricht im Gradmaß 360∘360^\circ360∘) sind, reicht es, die Funktionswerte der beiden trigonometrischen Funktionen für den Bereich [0,2π][0,2\pi][0,2π] (entspricht dem Bereich 0∘0^\circ0∘ bis 360∘360^\circ360∘) zu kennen. Funktionswerte außerhalb dieses Bereichs können also aufgrund der Periodizität durch den Zusammenhang

sin⁡(x)=sin⁡(x+2kπ)undcos⁡(x)=cos⁡(x+2kπ)\sin(x) = \sin(x + 2k \pi)\quad \text{und}\quad \cos(x) = \cos(x + 2k \pi)sin(x)=sin(x+2kπ)undcos(x)=cos(x+2kπ)

bestimmt werden. In Gradmaß lautet der Zusammenhang analog

sin⁡(x)=sin⁡(x+k⋅360∘)undcos⁡(x)=cos⁡(x+k⋅360∘) .\sin(x) = \sin(x + k \cdot 360^\circ)\quad \text{und}\quad \cos(x) = \cos(x + k \cdot 360^\circ)\,.sin(x)=sin(x+k⋅360∘)undcos(x)=cos(x+k⋅360∘).

Hierbei bezeichnet k∈Zk \in \Zk∈Z eine ganze Zahl. Die folgende Tabelle listet die wichtigsten Funktionswerte der beiden trigonometrischen Funktionen auf. Weitere Funktionswerte können auf einer im Abschnitt Weblinks aufgeführten Seite gefunden werden.

Winkel α\alphaα (Grad)0∘0^\circ0∘30∘30^\circ30∘45∘45^\circ45∘60∘60^\circ60∘90∘90^\circ90∘180∘180^\circ180∘270∘270^\circ270∘360∘360^\circ360∘Bogenmaß000π6\frac{\pi}{6}6ππ4\frac{\pi}{4}4ππ3\frac{\pi}{3}3ππ2\frac{\pi}{2}2ππ\piπ3π2\frac{3\pi}{2}23π2π2\pi2πSinus00012\frac1221122\frac12\sqrt2212123\frac12\sqrt3213111000−1-1−1000Kosinus111123\frac12\sqrt3213122\frac12\sqrt221212\frac1221000−1-1−1000111

Weitere mit Quadratwurzeln angebbare Funktionswerte

sin⁡(18∘)=cos⁡(72∘)=5−14\sin(18^\circ)=\cos(72^\circ)=\frac{\sqrt{5}-1}{4}sin(18∘)=cos(72∘)=45−1.

Mit Hilfe der Additionstheoreme lassen sich viele weitere solche Ausdrücke berechnen wie beispielsweise die Seitenlänge eines regulären Fünfecks über

cos⁡(54∘)=sin⁡(2⋅18∘)=125−52\cos(54^\circ)=\sin(2\cdot18^\circ)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}cos(54∘)=sin(2⋅18∘)=2125−5

und sin⁡(15∘)\sin(15^\circ)sin(15∘), woraus folgt

32=cos⁡(30∘)=cos⁡2(15∘)−sin⁡2(15∘)=1−2sin⁡2(15∘)\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos(30^\circ)=\cos^2(15^\circ)-\sin^2(15^\circ)=1-2\sin^2(15^\circ)23=cos(30∘)=cos2(15∘)−sin2(15∘)=1−2sin2(15∘).

Aus sin⁡(18∘)\sin(18^\circ)sin(18∘) und sin⁡(15∘)\sin(15^\circ)sin(15∘) lassen sich dann z. B. sin⁡(3∘)\sin(3^\circ)sin(3∘) und dann rekursiv auch alle sin⁡(k⋅3∘)\sin(k \cdot 3^\circ)sin(k⋅3∘), k∈Z k\in\Z\;k∈Z ermitteln.

α=k360∘2np1…pr\alpha=k\frac{360^\circ}{2^np_1\dots p_r}α=k2np1…pr360∘

ist, wobei k∈Z k\in\Z\;k∈Z, n∈N0 n\in\N_0\;n∈N0 und die pi p_i\;pi für i=1,…,r i=1,\dots,r\;i=1,…,r Fermatsche Primzahlen sind.In obigem Beispiel von α=3∘\alpha=3^\circα=3∘ ist k=1 k=1\;k=1 und der Nenner gleich 120=23⋅3⋅5.120=2^3\cdot 3\cdot 5.120=23⋅3⋅5.

Umkehrfunktion

arcsin ⁣:[−1,1]→[−90∘,90∘]arccos ⁣:[−1,1]→[0∘,180∘]\begin{array}{cl} \text{arcsin} \colon [-1,1] &\to [-90^\circ, 90^\circ] \\ \text{arccos}\colon [-1,1] &\to [0^\circ, 180^\circ] \end{array}arcsin:[−1,1]arccos:[−1,1]→[−90∘,90∘]→[0∘,180∘]

Ableitung und Integration von Sinus und Kosinus

Ableitung

Wird x x\;x im Bogenmaß angegeben, so gilt für die Ableitung der Sinusfunktion

sin⁡′(x)=cos⁡(x)\sin^\prime(x) = \cos(x)sin′(x)=cos(x)

Aus cos⁡(x)=sin⁡(π2−x)\cos(x)=\sin\left(\tfrac{\pi}{2}-x\right)cos(x)=sin(2π−x) und der Kettenregel erhält man die Ableitung des Kosinus:

cos⁡′(x)=−sin⁡(x)\cos^\prime(x) = -\sin(x)cos′(x)=−sin(x).

Stammfunktion

Aus den Ergebnissen über die Ableitung ergibt sich unmittelbar die Stammfunktion von Sinus und Kosinus im Bogenmaß:

∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)+C\int\sin(x)\,\mathrm{d}x=-\cos(x)+C∫sin(x)dx=−cos(x)+C∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)+C\int\cos(x)\,\mathrm{d}x=\sin(x)+C∫cos(x)dx=sin(x)+C

Die Logik ist die Hygiene, deren sich der Mathematiker bedient, um seine Gedanken gesund und kräftig zu erhalten.

Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld • Dοrfplatz 25 • 17237 Blankеnsее • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2) • Email: cο@maτhepedιa.dе

Wo sind sin und COS gleich?

sin²(α) + cos²(α) = 1 Wähle einen beliebigen Winkel α und überprüfe die Gleichheit mit deinem Taschenrechner. Mit Hilfe dieser Beziehung kannst du ohne Taschenrechner zu jedem Winkel den Sinus aus dem Kosinus oder den Kosinus aus dem Sinus bestimmen. Wenn sin(α)=0.6 , dann cos(α)=0.8 .

Wo gilt sin cos tan?

Sinus, Cosinus und Tangens hängen mit dem spitzen Winkel im rechtwinkligen Dreieck zwischen Hypotenuse und Ankathete zusammen. Deshalb werden sie auch als Winkelfunktionen bezeichnet.