ErklärungEinleitungDie Steigung einer Geraden ist überall gleich. Der Graph einer beliebigen Funktion besitzt meistens eine Steigung, die von der Stelle bzw. von dem Punkt des Graphen abhängt. In diesem Abschnitt lernst du, was unter der Steigung eines beliebigen Graphen einer Funktion zu verstehen ist.
Ein Temperaturverlauf wird beschrieben durch die Funktion mit in Stunden seit Beginn der Messung und in . Bestimme die mittlere Änderungsrate während der ersten sechs Stunden sowie die momentane Änderungsrate zum Zeitpunkt . Für die mittlere Änderungsrate gilt: Im Mittel steigt die Temperatur in den ersten Stunden also um . Für die momentane Änderungsrate zum Zeitpunkt gilt: Die momentane Temperaturänderung nach Stunden beträgt damit: . Ein Temperaturverlauf wird beschrieben durch die Funktion mit in Stunden seit Beginn der Messung und in . Bestimme die mittlere Änderungsrate während der ersten sechs Stunden sowie die momentane Änderungsrate zum Zeitpunkt . Für die mittlere Änderungsrate gilt: Im Mittel fällt die Temperatur in den ersten Stunden also um . Für die momentane Änderungsrate zum Zeitpunkt gilt: Die momentane Temperaturänderung nach Stunden beträgt damit: AufgabenAufgabe 1- Schwierigkeitsgrad: Bestimme für folgende Funktionen die mittlere Änderungsrate auf dem Intervall : Lösung zu Aufgabe 1Hole nach, was Du verpasst hast! 50.000 zufriedene Kursteilnehmer 100% Geld-zurück-Garantie 350-seitiges Kursbuch inkl. Aufgabe 2- Schwierigkeitsgrad: Ein Bergprofil wird für beschrieben durch die Funktion mit Dabei entspricht eine Längeneinheit . Ein Autofahrer möchte die Straße über den Berg nehmen. Davor befindet sich ein Schild, das eine mittlere Steigung von angibt. Überprüfe die Angabe auf dem Schild und finde heraus, ob der Autofahrer über den Berg kommen wird, wenn sein Auto für eine maximale Steigung von ausgelegt ist. Lösung zu Aufgabe 2Zunächst berechnet man die mittlere Steigung zwischen und . Es gilt Eine Steigung von entspricht einer Steigung von . Somit ist das Schild korrekt. Um zu überprüfen, wie groß die Steigung an einem Punkt ist, bildet man die erste Ableitung der Funktion . Es gilt: An der Stelle gilt , was einer Steigung von entspricht. Somit ist schon an dieser Stelle die Steigung des Hangs so groß, dass das Auto nicht mehr den Berg hinaufkommt. (Die Steigung wird für größere -Werte noch größer.) Aufgabe 3- Schwierigkeitsgrad: Ein Kuchen kühlt nach seiner Zubereitung ab. Der Abkühlvorgang wird durch die folgende Funktion beschrieben: Dabei entspricht der nach dem Backvorgang verstrichenen Zeit in Minuten und der Temperatur des Kuchens in Grad Celsius. Wie schnell kühlt der Kuchen zu Beginn des Vorgangs ab? Berechne außerdem die durchschnittliche Temperaturveränderung für die ersten 12 Minuten. Um wie viel Grad unterscheidet sich diese von der momentanen Temperaturänderung zu Beginn? Lösung zu Aufgabe 3Bestimmung der momentanen Änderungsrate zu Beginn des AbkühlensUm zu berechnen, wie groß die momentane Veränderung zu einem Zeitpunkt ist, bildet man die erste Ableitung. Es gilt: Zum Zeitpunkt gilt , was einer momentanen Temperaturabnahme von Grad pro Minute entspricht. Bestimmung der mittleren ÄnderungsrateDie mittlere Steigung des Graphen von zwischen und ist gegeben durch: Eine Steigung von entspricht einer Abnahme von ungefähr Grad Celsius pro Minute. Vergleich der ErgebnisseSomit unterscheidet sich die durchschnittliche Temperaturabnahme um etwa Grad Celsius pro Minute von der Abkühlgeschwindigkeit zu Beginn des Abkühlvorgangs. Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 02. 02. 2022 - 11:47:05 Uhr |