2 gleich große kreise

Undzwar sind in einem Quadrat mit der Seitenlänge a,2 Kreise mit den Radien r1 und r2 eingezeichnet.
Das verhältnis von dem Radius des 1. kreises zum Kreis 2 ist 1:3.

Nun soll ermittelt werden wie groß die Radien der Kreise sind.

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Flächenmessung
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Kreis und Mittelsenkrechte
Kreis: Umfang und Flächeninhalt

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ganz einfach, z. B . :

a2=r+3r+r2+3r2

r=a22(1+2)

r= kleinerer Radius

R=3r= größerer Radius

1.)
die Kreise liegen neibeneinander bzw. übereinander im Quadrat:

a=d1+d2
a=2⋅r+2⋅3r
a=8r

r1=18a
r2=38a

2.)
die Kreise liegen diagonal im Quadrat:

(nichteindeutig zuzuordnen)

ergo:
da nicht speziell nbach einem Maximum gefragt ist, sondern nur eine Relation gegeben ist, dürfte die unter 1. ) beschriebene Situation stimmen.

Es wäre nett, wenn ihr eure rechnung auch etwas erklären könntet. Die einzelnen Schritte, wie ihr auf "darauf" kommt. Danke

dann hast du

R=3r

aus der verhaeltnisangabe 1:3

und mit dem satz des pythagoras

( r+R)2=(a-R-r)2+(a-R-r)2

(r+R)2=2(a-R-r)2

obere gleichung einsetzen

(r+3r)2=2(a-3r-r)2

...

ausrechnen...

lg

ihr Umstandskramer s.o.

Diagonale :a2

Kreis1:r

Kreis2:3r

Diagonale zwischen beiden Kreisen: 2r2

Quadrat: 2r2 +4r

r=a2(2+2)

...für die Diagonale ergibt sich:

D=R+r=4r

...damit ist Δy der Kreismittelpunkte:

Δy=4r2 =2⋅2⋅r

dazu noch r+R, das ist dann a :

a=2⋅2⋅r+R+r=2⋅2 ⋅r+4r=(2⋅2+4)⋅r

r=a2⋅2+4≈0,1464⋅a

R=3⋅a2⋅2 +4≈0,4393⋅a

;-)

Die Diagonale des Quardrates ist a⋅( 2)

Woher kommt nun Δy?

Was macht ihr denn hier für ein Chaos? Der arme Fragensteller ist bestimmt ähnlich verwirrt wie ich jetzt. Dabei ist die Lösung gar nicht so schwierig.

Der Mittelpunkt des großen Kreises hat vom linken Rand des Quadrates den Abstand R und vom unteren Rand des Quadrates den Abstand R, liegt also auf der Diagonalen des Quadrates. Der Mittelpunkt des kleinen Kreises hat vom oberen Rand und vom rechten Rand des Quadrates den Abstand r und liegt daher auch auf der Diagonalen des Quadrates. Die Diagonale d ist daher genauso lang, wie die beiden Durchmesser der Kreise zusammen:

d=2R+2r

Die Länge d der Diagonalen des Quadrates folgt aus dem Satz des Pythagoras:

d2=a2+a2⇒d=2⋅a

Also gilt für unsere Kreise:

2R+2r=2⋅a

Weiter ist das Verhältnis von r zu R bekannt: rR=13.

Daher bietet es sich an, die obige Gleichung auf beiden Seiten durch R zu dividieren und das Verhältnis einzusetzen:

2+2 rR=2⋅aR

2+213 =2⋅aR

83=2⋅aR

R=328⋅a

Wegen dem Verhältnis rR=13 ist r dreimal kürzer als R, so dass schließlich als Ergebnis herauskommt:

R=3 28⋅a;r=28⋅a

Viele Grüße

DerDepp

die Summe der beiden Kreisdurchmesser ist NICHT gleich der

Diagonalen des Quadrates.

Die Kreise berühren nicht die Eckpunkte des Quadrates.

Es gilt ja: Δx=Δy=D2

Mit D mein' ich die Diagonale von M1 zu M2,D=R+r=4r

somit ergibt sich der vertikale, oder auch der horizontale Abstand beider Mittelpunkte zu:

4⋅r2

..um bis jeweils an den Rand des Quadrats zu kommen benötine wir nochmals R+r=4r

Damit ist dann die Seitenlänge des Quadrats:

a=4⋅r2+4r=(4 2+4)⋅r

und damit:

r=a42+4=a2⋅2+4

...wie bereits schon beschrieben.

;-)

wo kommt bei der Formel von Δy der Wert 2 im Nenner her?

Schau dir einfach meine Skizze im Anhang an!

;-)

Manchmal dauerts halt ein bischen länger :-)

Der Form halber sei erwähnt:

in deiner grafischen Darstellung muß im Zähler (blaue Schrift)

doch ein kleines r stehen, nicht wahr?!

an sonsten ist alles grandios dargestellt. Danke!

;-)

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