7 teile.rechtecke gleich ein quardraht

Ein Viereck, bei dem je zwei benachbarte Seiten zueinander senkrecht und gleich lang sind, heißt Quadrat (Bild 1).

Gleichwertig sind auch folgende Aussagen:

• Ein Quadrat ist ein Rechteck mit gleich langen Seiten.
• Ein Quadrat ist eine Raute (ein Rhombus) mit rechten Winkeln.

Das Quadrat ist ein regelmäßiges Viereck.

Die Diagonalen eines Quadrats sind gleich lang und halbieren einander. Sie stehen senkrecht zueinander und halbieren die Innenwinkel des Quadrats.

Ein Quadrat lässt sich durch die Spiegelung eines rechtwinklig-gleichschenkligen Dreiecks am Mittelpunkt der Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt, erzeugen (Bild 2).

Spiegelung des Dreiecks ABC an M

Ein Quadrat besitzt vier Symmetrieachsen, die beiden Diagonalen und die beiden Mittellinien (Bild 3). Demzufolge ist es achsensymmetrisch, punktsymmetrisch zum Punkt M und drehsymmetrisch für α=90°,180°,270°,360°.

Der Flächeninhalt eines Quadrats ist gleich dem Quadrat der Seitenlänge.
A=a2
Für den Umfang eines Quadrats gilt:
u=4a

Symmetrieeigenschaften eines Quadrats

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

Schokoladentafeln und ihr Flächeninhalt

Jana und Tarek essen gern Schokolade. Jana bevorzugt eine Sorte, die von oben wie ein Quadrat aussieht. Die Seiten sind alle jeweils 12 cm lang. Die Sorte von Tarek ist von oben betrachtet ein 16 cm langes und 9 cm breites Rechteck.

Wie groß sind Fläche und Umfang jeweils?

Beide Flächen lassen sich in Zentimeter-Quadrate einteilen. Um die Anzahl aller Kleinquadrate zu ermitteln, kannst du alle abzählen. Dann hast du den Flächeninhalt. Oder du nimmst einfach die Länge mit der Breite mal:

Quadrat: $$12*12=144$$

Rechteck: $$9*16=144$$

Mathematisch ganz genau mit den Maßeinheiten:

Quadrat: $$12 cm*12 cm=144 cm^2$$

Rechteck: $$9 cm*16 cm=144 cm^2$$

Das Maß für die Fläche ist immer Quadratzentimeter, Quadratmeter usw.

Ein Quadrat ist auch ein Rechteck.

Flächeninhalte berechnen

Die Seiten eines Vierecks bezeichnest du mit kleinen Buchstaben: $$a$$, $$b$$, $$c$$, $$d$$.

Wenn zwei oder mehr Seiten genau gleich lang sind, kannst du jeweils denselben Buchstaben verwenden.

Das ist die allgemeine Formel für den Flächeninhalt von Rechtecken:

$$A=a*b$$

Besondere Formel für Quadrate

Weil beim Quadrat alle Seiten gleich lang sind, kannst du für Quadrate diese Formel nutzen:

$$A=a*a$$

oder zusammengefasst:

$$A=a^2$$

Man kann die Länge a und die Breite b nennen. Es geht aber auch umgekehrt.

Das große A steht für das englisch Wort „area“ (= Fläche). Das F ist schon für andere Formeln vergeben.

Umfänge berechnen

Um den Umfang eines Rechtecks oder eines Quadrats zu ermitteln, zählst du einfach alle Seiten zusammen:

Quadrat: $$12+12+12+12=48$$

Rechteck: $$9+16+9+16=50$$

Oder genauer mit den Maßeinheiten:

Quadrat: $$12 cm+12 cm+12 cm+12 cm=48 cm$$

Rechteck: $$9 cm+16 cm+ 9 cm+16 cm=50 cm$$

Allgemeine Formel

Für alle Vierecke gilt:

$$u=a+b+c+d$$

Weil bei Rechtecken und Quadraten nicht alle Seiten verschieden lang sind, kannst du die Formel vereinfachen:

Rechteck:

$$u=a+a+b+b= 2*a+2*b$$

Quadrat:

$$u=a+a+a+a= 4*a$$

Beide Schokoladen bedecken eine Fläche von $$144$$ $$cm^2$$, der Umfang von Janas Schokolade beträgt $$48$$ $$cm$$, und die Schokolade von Tarek hat einen Umfang von $$50$$ $$cm$$.

Das Maß für den Umfang ist immer Zentimeter, Meter, … Also das normale Längenmaß.

Umfang = Summe aller Seiten

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Rechteck und Quadrat sind verwandt

Zum Schluss:

Was haben Quadrat und Rechteck gemeinsam, was unterscheidet sie?

• Beide haben vier gleiche (rechte) Winkel mit jeweils 90°.

• Bei beiden sind die gegenüberliegenden Seiten gleich lang.

• Doch nur beim Quadrat sind alle vier Seiten gleich lang.

Ein Quadrat ist also ein Rechteck, und ein Rechteck kann ein Quadrat sein.

Wie viele Rechtecke hat ein Quadrat?

Kann jedes Quadrat ein Rechteck sein?

Welche Teile ergeben ein Quadrat?

Was haben Quadrat und Rechteck gemeinsam?