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1 Mittelwert 2 Geschichte 3 Visualisierung des arithmetischen Mittels 4 Definitionen der drei klassischen Mittelwerte 5 Arithmetischer Mittelwert 6 Geometrisches Mittel 7 Harmonischer Mittelwert 8 Beispiele für die Verwendung unterschiedlicher Mittelwerte 9 Gemeinsame Definition der drei klassischen Mittelwerte 10 Zusammenhänge 11 Zusammenhang mit Erwartungswert 12 Zusammenhang von arithmetischem, harmonischem und geometrischem Mittel 13 Ungleichung der Mittelwerte 14 Vergleich zu anderen Maßen der zentralen Tendenz 15 Weitere Mittelwerte und ähnliche Funktionen 16 Gewichtete Mittel 17 Quadratisches und kubisches Mittel 18 Logarithmischer Mittelwert 19 Winsorisiertes und getrimmtes Mittel 20 Quartilsmittel 21 Mitte der kürzesten Hälfte 22 Gastwirth-Cohen-Mittel 23 Bereichsmittel 24 Das „a-Mittel“ 25 Gleitende Durchschnitte 26 Kombinierte Mittelwerte 27 Verallgemeinerte Mittelwerte 28 Hölder-Mittel 29 Lehmer-Mittel 30 Stolarsky-Mittel 31 Integraldarstellung nach Chen 32 Mittelwert einer Funktion 33 Literatur 34 Weblinks 35 Einzelnachweise 36 Kontaktformular 37 Fragen zum Thema? MittelwertDer Mittelwert ist ein Begriff aus der beschreibenden Statistik und fasst alle Werte einer Datenreihe zusammen. Dieser Wert wird auch als der arithmetische Mittelwert bezeichnet.  Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig. Weitere Bedeutungen sind unter Mittelwert (Begriffsklärung) aufgeführt. Ein Mittelwert (kurz auch nur Mittel; anderes Wort Durchschnitt) ist eine Zahl, die aus gegebenen Zahlen nach einer bestimmten Rechenvorschrift ermittelt wird. Gebräuchlich sind Rechenvorschriften für das arithmetische, das geometrische und das quadratische Mittel. Mit dem Wort Mittel oder Durchschnitt ist meistens das arithmetische Mittel gemeint. In der Statistik ist der Mittelwert einer der Parameter, die den typischen Wert einer Verteilung charakterisieren, bzw. die die zentrale Tendenz einer Verteilung zum Ausdruck bringen (Lageparameter). Eng verwandt ist der arithmetische Mittelwert mit dem Erwartungswert einer Verteilung. Während der Mittelwert aus konkreten vorliegenden Zahlenwerten ermittelt wird, beruht der Erwartungswert auf der theoretisch zu erwartenden Häufigkeit. GeschichteIn der Mathematik treten Mittelwerte, insbesondere die drei klassischen Mittelwerte (arithmetisches, geometrisches und harmonisches Mittel), bereits in der Antike auf. Pappos von Alexandria kennzeichnet zehn verschiedene Mittelwerte Visualisierung des arithmetischen MittelsNachrechnung ohne Dimension: Kugelgewicht gleich Den meistbenutzten Mittelwert, das arithmetische Mittel, kann man z. B. mithilfe gleich schwerer Kugeln auf einer Wippe visualisieren, die aufgrund der Hebelgesetze durch ein Dreieck (Drehpunkt) ausbalanciert sind. Unter der Annahme, dass das Gewicht des Balkens vernachlässigt werden kann, entspricht die Position des Dreiecks, das die Balance herbeiführt, dem arithmetischen Mittel der Kugelpositionen. Definitionen der drei klassischen MittelwerteIm Folgenden seien Arithmetischer Mittelwert→ Hauptartikel: Arithmetisches Mittel Das arithmetische Mittel ist die Summe der gegebenen Werte geteilt durch die Anzahl der Werte. Geometrisches Mittel→ Hauptartikel: Geometrisches Mittel Im Fall von Zahlen, die nicht auf Grund ihrer Summe, sondern ihres Produktes interpretiert werden, kann das geometrische Mittel berechnet werden. Dazu werden die Zahlen miteinander multipliziert und die Harmonischer Mittelwert→ Hauptartikel: Harmonisches Mittel Das harmonische Mittel findet Verwendung, wenn die Zahlen im Bezug auf eine Einheit definiert sind. Dazu wird die Anzahl der Werte durch die Summe der Kehrwerte der Zahlen geteilt. Beispiele für die Verwendung unterschiedlicher MittelwerteMerkmalsträgerIm Folgenden soll beispielhaft an den sieben rechts angegebenen Einträgen in der Wertetabelle gezeigt werden, wo welche Definition des Mittelwerts sinnvoll ist. Das arithmetische Mittel wird beispielsweise zum Berechnen der Durchschnittsgeschwindigkeit genutzt, die Werte werden also als Geschwindigkeiten interpretiert: Läuft eine Schildkröte erst eine Stunde lang drei Meter pro Stunde, dann drei Stunden lang je zwei Meter und beschleunigt für jeweils eine Stunde nochmals auf drei, vier und fünf Meter pro Stunde, so ergibt sich als arithmetisches Mittel bei einer Strecke von 21 Metern in 7 Stunden: Auch das harmonische Mittel kann zur Berechnung einer durchschnittlichen Geschwindigkeit sinnvoll sein, wenn nicht über gleiche Zeiten, sondern über gleiche Strecken gemessen wird. In dem Fall geben die Werte der Tabelle die Zeiten an, in der eine einheitliche Strecke zurückgelegt wird: Die Schildkröte laufe den 1. Meter mit 3 Metern pro Stunde, weitere 3 m mit jeweils 2 m/h und beschleunigt auf den letzten 3 Metern nochmals auf jeweils 3, 4 und 5 m/h. Die Durchschnittsgeschwindigkeit ergibt sich bei einer Strecke von 7 Metern in Mit dem geometrischen Mittel errechnet man den mittleren Wachstumsfaktor. Die Wertetabelle wird also als die Angabe von Wachstumsfaktoren interpretiert. Eine Bakterienkultur wachse beispielsweise am ersten Tag auf das Fünffache, am zweiten auf das Vierfache, dann zweimal auf das Dreifache und die letzten drei Tage verdoppelt sie sich täglich. Der Bestand nach dem siebten Tag errechnet sich also durch und somit ist Ein tägliches Wachstum der Bakterienkultur um das 2,83-Fache hätte also nach sieben Tagen zum selben Ergebnis geführt. Gemeinsame Definition der drei klassischen MittelwerteDie Idee, die den drei klassischen Mittelwerten zugrunde liegt, lässt sich auf folgende Weise allgemein formulieren: Beim arithmetischen Mittel sucht man die Zahl , für die gilt, wobei sich die Summe links über Summanden erstreckt. Das arithmetische Mittel mittelt also bzgl. der arithmetischen Verknüpfung „Summe“. Anschaulich bestimmt man mit dem arithmetischen Mittel aus Stäben verschiedener Länge einen mit einer durchschnittlichen oder mittleren Länge. Beim geometrischen Mittel sucht man die Zahl , für die gilt, wobei sich das Produkt links über Faktoren erstreckt. Das geometrische Mittel mittelt also bzgl. der arithmetischen Verknüpfung „Produkt“. Das harmonische Mittel löst die Gleichung ZusammenhängeZusammenhang mit ErwartungswertDer generelle Unterschied zwischen einem Mittelwert und dem Erwartungswert ist, dass der Mittelwert auf einen konkreten Datensatz angewendet wird, während der Erwartungswert Information über die Verteilung einer Zufallsvariablen liefert. Von Bedeutung ist die Verbindung zwischen diesen beiden Parametern. Wenn der Datensatz, auf den das Mittel angewendet wird, eine Stichprobe der Verteilung der Zufallsvariablen ist, ist das arithmetische Mittel der erwartungstreue und konsistente Schätzer des Erwartungswertes der Zufallsvariablen. Da der Erwartungswert dem ersten Moment einer Verteilung entspricht, wird der Mittelwert daher häufig genutzt, um aus empirischen Daten die Verteilung einzuschränken. Im Falle der häufig genutzten Normalverteilung, die durch die ersten beiden Momente vollkommen festgelegt ist, ist der Mittelwert daher von entscheidender Bedeutung. Zusammenhang von arithmetischem, harmonischem und geometrischem MittelDer Kehrwert des harmonischen Mittels ist gleich dem arithmetischen Mittel der Kehrwerte der Zahlen. Für oder nach dem geometrischen Mittel aufgelöst Ungleichung der Mittelwerte→ Hauptartikel: Ungleichung der Mittelwerte Die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel vergleicht die Werte des arithmetischen und geometrischen Mittels zweier gegebener Zahlen: Es gilt für positive Variable stets Die Ungleichung lässt sich auch auf weitere Mittelwerte ausdehnen, z. B. (für positive Variable) Für zwei (positive) Variablen gibt es auch eine grafische Veranschaulichung: Geometrischer Beweis der Ungleichung für Mittelwerte zweier Variablen, Vergleich von arithmetischem, geometrischem, harmonischem und weiteren Mittelwerten zweier positiver reeller Zahlen Das geometrische Mittel folgt direkt aus dem euklidischen Höhensatz und das harmonische Mittel aus dem euklidischen Kathetensatz mit der Beziehung Vergleich zu anderen Maßen der zentralen Tendenz→ Hauptartikel: Median und Modus (Statistik) Häufig wird ein Mittelwert genutzt, um einen zentralen Wert eines Datensatz zu beschreiben. Dabei gibt es weitere Parameter, die ebenfalls diese Funktion erfüllen: Median und Modus. Der Median beschreibt einen Wert, der den Datensatz in zwei Hälften teilt, während der Modus den Wert mit der höchsten Häufigkeit im Datensatz angibt. Im Vergleich zum Median ist der Mittelwert anfälliger für Ausreißer und daher weniger robust. Weil der Median ein Quantil der Verteilung beschreibt, ist es auch möglich, dass dieser einen Wert aus der Ausgangsmenge beschreibt. Dies ist vor allem dann interessant, wenn die Zahlen zwischen den gegebenen Daten aus anderweitigen – beispielsweise physikalischen – Überlegungen nicht aussagekräftig sind. Der Median wird allgemein mit der folgenden Rechenvorschrift ermittelt.[1] Weitere Mittelwerte und ähnliche FunktionenGewichtete MittelDie gewichteten oder auch gewogenen Mittelwerte entstehen, wenn man den einzelnen Werten unterschiedliche Gewichte zuordnet, mit denen sie in das Gesamtmittel einfließen; zum Beispiel, wenn bei einer Prüfung mündliche und schriftliche Leistung unterschiedlich stark in die Gesamtnote einfließen. Die genauen Definitionen finden sich hier:
Quadratisches und kubisches MittelWeitere Mittel, die Verwendung finden, sind das quadratische Mittel und das kubische Mittel. Das quadratische Mittel wird mit der folgenden Rechenvorschrift berechnet: Das kubische Mittel wird wie folgt ermittelt: Logarithmischer MittelwertDer logarithmische Mittelwert Für Winsorisiertes und getrimmtes Mittel→ Hauptartikel: Getrimmter Mittelwert Kann man davon ausgehen, dass die Daten durch „Ausreißer“, das heißt einige wenige zu hohe oder zu niedrige Werte, kontaminiert sind, so kann man die Daten entweder durch Stutzen oder durch „Winsorisieren“ (benannt nach Charles P. Winsor) bereinigen und den getrimmten (bzw. gestutzten) Beispiel: Hat man 10 aufsteigend sortierte reelle Zahlen Indes ist der 10-%-winsorisierte Mittelwert gleich D. h., das getrimmte Mittel liegt zwischen dem arithmetischen Mittel (keine Stutzung) und dem Median (maximale Stutzung). Üblicherweise wird ein 20-%-getrimmtes Mittel verwendet, d. h., 40 % der Daten bleiben unberücksichtigt für die Mittelwertberechnung. Die Prozentzahl richtet sich im Wesentlichen nach der Zahl der vermuteten Ausreißer in den Daten; für Bedingungen für eine Trimmung von weniger als 20 % sei auf die Literatur verwiesen.[3][4] QuartilsmittelDas Quartilsmittel ist definiert als der Mittelwert des 1. und 3. Quartils: Hierbei bezeichnet Das Quartilsmittel ist robuster als das arithmetische Mittel, aber weniger robust als der Median. Mitte der kürzesten HälfteSei Gastwirth-Cohen-MittelDas Gastwirth-Cohen-Mittel[6] nutzt drei Quantile der Daten: das mit Spezialfälle sind
BereichsmittelDas Bereichsmittel (englisch Mid-range) ist definiert als der arithmetische Mittelwert aus dem größten und dem kleinsten Beobachtungswert: Dies ist gleichbedeutend mit: Das „a-Mittel“Für einen gegebenen reellen Vektor wobei über alle Permutationen Für den Fall Für die -Mittel gilt die Muirhead-Ungleichung. Beispiel: Sei Damit ergibt sich :Gleitende Durchschnitte→ Hauptartikel: Gleitender Mittelwert Gleitende Durchschnitte werden in der dynamischen Analyse von Messwerten angewandt. Sie sind außerdem ein gängiges Mittel der technischen Analyse in der Finanzmathematik. Mit gleitenden Durchschnitten kann das stochastische Rauschen aus zeitlich voranschreitenden Signalen herausgefiltert werden. Häufig handelt es sich dabei um FIR-Filter. Jedoch muss beachtet werden, dass die meisten gleitenden Durchschnitte dem echten Signal hinterherlaufen. Für vorausschauende Filter siehe z. B. Kalman-Filter. Gleitende Durchschnitte benötigen normalerweise eine unabhängige Variable, die die Größe der nachlaufenden Stichprobe bezeichnet, bzw. das Gewicht des vorangehenden Wertes für die exponentiellen gleitenden Durchschnitte. Gängige gleitende Durchschnitte sind:
In der Finanzliteratur können außerdem sogenannte adaptive gleitende Durchschnitte gefunden werden, die sich automatisch einer sich ändernden Umgebung (anderer Volatilität/Streuung etc.) anpassen:
Für die Anwendung von gleitenden Durchschnitten siehe auch Gleitende Durchschnitte (Chartanalyse) und MA-Modell. Kombinierte MittelwerteMittelwerte lassen sich kombinieren; so entsteht etwa das arithmetisch-geometrische Mittel, das zwischen dem arithmetischen und geometrischen Mittel liegt. Verallgemeinerte MittelwerteEs gibt eine Reihe weiterer Funktionen, mit denen sich die bekannten und weitere Mittelwerte erzeugen lassen. Hölder-Mittel→ Hauptartikel: Hölder-Mittel Für positive Zahlen Für Man beachte, dass sowohl Notation als auch Bezeichnung uneinheitlich sind. Für Außerdem gilt bei festen Zahlen : Je größer ist, desto größer ist Lehmer-MittelDas Lehmer-Mittel[7] ist ein anderer verallgemeinerter Mittelwert; zur Stufe Es hat die Spezialfälle
Stolarsky-MittelDas Stolarsky-Mittel zweier Zahlen Integraldarstellung nach ChenDie Funktion ergibt für verschiedene Argumente
Aus der Stetigkeit und Monotonie der so definierten Funktion Mittelwert einer FunktionDas arithmetische Mittel einer stetigen Funktion Das quadratische Mittel einer stetigen Funktion ist Diese finden in der Technik erhebliche Beachtung, siehe Gleichwert und Effektivwert. Literatur
Weblinks
Einzelnachweise
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Wann arithmetisches Mittel und geometrisches Mittel?
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