Was sind gleiche ziffern

Aus den acht Ziffern von 1 bis 8 wird zufällig eine sechsstellige Zahl gebildet, wobei sich Ziffern beliebig oft wiederholen dürfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei gleiche Ziffern auftreten?

Ich weiß bereits, dass es sich um eine Variation mit Wiederholung handelt, also ist

Anzahl möglicher Fälle: nk=86= 262144

Ich weiß, dass ich, anstatt alle Zahlen, die genau zwei, drei, vier, fünf und sechs gleiche Ziffern beinhalten, auch einfach nur die Anzahl aller Zahlen bestimmen kann, die keine doppelte Ziffer beinhalten. Mein Lösungsvorschlag dafür:

P(x= 1)=1-8!86

Ist das so richtig? Wie könnte ich aber die Anzahl aller Zahlen ermitteln, die genau zwei gleiche Ziffern haben?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

> Wie könnte ich aber die Anzahl aller Zahlen ermitteln, die genau zwei gleiche Ziffern haben?
Indem du dir einfach Schritt für Schritt vorstellst, wie du vorgehen könntest, um eine solche Zahl hinzuschreiben.
1) Wähle die Ziffer die doppelt vorkommen soll (wie viele Möglichkeiten?)
2) Wähle aus den verbleibenden sieben Ziffern die weiteren vier Ziffern für die Zahl aus (wie viele Möglichkeiten?)
3) Ordne die sechs Ziffern nun irgend wie an (wie viele Möglichkeiten? Beachte, dass zwei Ziffern gleich und nicht unterscheidbar sind!)
Du solltest auf 100800 kommen.

Alternativ kannst du auch
1) Fünf verschiedene Ziffern aus den 8 wählen
2) Eine dieser fünf Ziffern verdoppeln
3) Diese 6 Ziffern wieder anordnen
Das führt natürlich auf das gleiche Ergebnis

Ich habe deine Schritt-für-Schritt Anleitung mal ausprobiert, komme aber nicht auf dein Ergebnis.

1) Es gibt 8 verschiedene Möglichkeiten für Ziffern, die doppelt vorkommen
2) Es gibt (Variation mit Wiederholung, n= 7,k=4)2401 mögliche Anordnungen
3) Es gibt 15 verschiedene Anordnungen, wo die doppelte Zahl stehen könnte

Also 8⋅2401⋅15=288120

Wo liegt der Fehler?

Deine Alternative habe ich leider gar nicht verstanden.

Und bei 3) ordne ich erst alle 6 Zahlen an, wobei aber eben ein Pärchen dabei ist. Dabei handelt es sich um eine Permutation mit Wiederholung. → 6!2!=360
Aber natürlich kannst auch erst die beiden doppelten Ziffern auf deine 15 Arten platzieren und danach die vier restlichen Ziffern beliebig anordnen. Auch 15⋅4!=360.
Es gibt bei solchen Aufgaben meist viele unterschiedliche Wege zur Lösung.

Dein Fehler war im Grunde nur, dass du in Schritt 2) eine Variation MIT Wiederholung verwendet hast. Da du ja nach der Anzahl der Möglichkeiten mit genau einem Zifferpärchen gefragt hast, müssen die vier in Schritt 2) gewählten Ziffern aber alle verschieden sein.
Du kannst also gerne auch deinen modifizierten Ansatz verwenden, bei dem du in Schritt 2) nicht nur die vier Ziffern auswählst, sondern auch gleich anordnest → Variation ohne Wiederholung →7!(7-4)!
Und in Schritt 3) wird dann eben nur mehr das verbliebene Pärchen auf eine der möglichen (62)=15 Platzkombinationen gelegt.

8⋅7!3!⋅15=100800