Was ist der unterschied zwischen einem einseitigen und zweiseitigen hebel

Einseitiger Hebel

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Beim einseitigen Hebel wie deinem Unterarm oder einem Schraubenschlüssel befindet sich die Drehachse am Endpunkt eines starren Körpers (oder mehrerer starrer Körper). Die Kräfte am Hebel greifen also nur auf einer Seite der Drehachse an. Ein solcher einseitiger Hebel befindet sich im "Gleichgewicht", wenn die Summe der Produkte aus Kraft \(F\) und Hebelarm \(a\) aller in einer Richtung wirkenden Kräfte gleich der Summe der Produkte aus Kraft \(F\) und Hebelarm \(a\) aller in die andere Richtung wirkender Kräfte ist. Im in Abb.1 dargestellten einfachen Beispiel mit nur zwei wirkenden Kräften und unter vernachlässigung der Masse des Hebels selbst muss für den Gleichgewichtsfall also gelten \[F_1\cdot a_1=F_2\cdot a_2\quad\text{bzw.}\quad F_1\cdot a_1-F_2\cdot a_2=0\].

Allgemeine Bestimmung des Hebelarms

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Beim einseitigen Hebel entspricht der Abstand zwischen dem Angriffspunkt \(\rm{P}\) einer Kraft \(\vec{F}\) und der Drehachse \(\rm{D}\) nur dann dem Hebelarm, wenn die Kraft senkrecht zum Hebel wirkt. Im Allgemeinen bestimmst du den Hebelarm wie in Abb. 2 über den Abstand der Drehachse \(\rm{D}\) von der Wirkungslinie der Kraft \(\vec{F}\). Dies kannst du entweder mithilfe einer maßstabsgerechten Zeichnung oder mit trigonometrischen Überlegungen im rechtwinkligen Dreieck bestimmen.

Den Hebelarm \(a_1\) in Abb. 2 berechnest du mittels \[\sin(\gamma)=\frac{a_1}{\left| {\overline {{\rm{P_1 D}}}} \right|}\Rightarrow a_1=\sin(\gamma)\cdot \left| {\overline {{\rm{P_1 D}}}} \right|\]

Das Drehmoment

Befindet sich der Hebel wie in Abb. 2 nicht im Gleichgewicht, so übt die Kraft \(\vec{F_1}\) eine Drehwirkung auf die Drehachse aus. Diese Drehwirkung kannst du mit dem Drehmoment \(M\) beschreiben. Das Drehmoment ist allgemein definiert als Produkt aus Kraft \(F\) und Hebelarm \(a\):\[{M=F\cdot a}\]

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Je nach der Drehrichtung, die von einem Drehmoment bewirkt wird, unterscheidet man linksdrehende und rechtsdrehende Momente und verwendet dabei die in Abb. 3 dargestellte Symbolik.

Die Einheit des Drehmoments ist \(\left[M\right]=1\,\rm{N\cdot m}\). Hierfür schreibt man jedoch nicht wie bei der Energie \(1\,\rm{J}\).

Im Alltag wird z.B. beim Montieren von Autorädern angegeben, mit welchem Drehmoment die Schraubenmuttern angezogen werden müssen.

Mit dem Begriff Drehmoment kannst du die Gleichgewichtsbedingung am Hebel auch wie folgt ausdrücken: Ein Hebel ist im Gleichgewicht, wenn die Summe der linksdrehenden Momente gleich der Summe der rechtsdrehenden Momente ist.

Weitergehende Infos zum Drehmoment und seiner Berechnung mittels Vektoren findest im Abschnitt Drehbewegungen.

Verschiedene Hebel im Alltag

Einen um eine feste Achse drehbaren, starren Körper nennen wir Hebel. Im Alltag kennst du viele verschiedene Hebel: Wippe, Schere, Nussknacker und Schraubenschlüssel. Auch dein Arm ist im Prinzip ein Hebel. Allgemein gilt dabei: Je länger der Hebel(-arm) ist, desto kleiner ist die Kraft, die du aufbringen musst, um z.B. deinen Partner auf der Wippe anzuheben. Weiter unterscheidet man zweiseitige Hebel wie eine Wippe von einseitigen Hebeln wie einem Schraubenschlüssel.

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Zweiseitiger Hebel

Bei einem zweiseitigen Hebel erstreckt sich der starre Körper auf beide Seiten der Drehachse. Es können daher auf beiden Seiten der Drehachse Kräfte am Hebel angreifen. Besonders einfach kannst du Größen am zweiseitigen Hebel berechnen, wenn dieser waagerecht steht und die angreifenden Kräfte senkrecht dazu, also senkrecht nach oben oder nach unten wirken. In diesem Fall entspricht der Abstand des Angriffspunktes \(\rm{P}\) einer Kraft \(\vec{F}\) von der Drehachse genau dem sogenannten Hebelarm \(a\) (siehe Abb. 1). 

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Der Hebel ist hier im Gleichgewicht, wenn das Produkt von Kraft und Hebelarm der links von der Drehachse angreifenden Kräfte gleich dem Produkt von Kraft und Hebelarm der rechts von der Drehachse angreifenden Kräfte ist: \[{F_1\cdot a_1=F_2\cdot a_2}\]

Mehr als eine wirkende Kraft auf einer Seite

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Wenn auf einer Seite oder auf beiden Seiten des Hebels mehr als eine Kraft wirkt, so addierst du für jede Seite alle Produkte aus Kraft und Hebelarm auf. Im Gleichgewichtsfall muss die Summe der Produkte für die links angreifenden Kräfte gleich der Summe der Produkte für die rechts angreifenden Kräfte sein. Für das in Abb. 3 dargestellte Beispiel mit drei angreifenden Kräften gilt daher im Gleichgewichtsfall \[F_{\rm{l1}}\cdot a_{\rm{l1}}+F_{\rm{l2}}\cdot a_{\rm{l2}}=F_{\rm{r1}}\cdot a_{\rm{r1}}\]

Nach oben wirkende Kraft

Wirkt eine am Hebel angreifende Kraft nicht nach unten, sondern nach oben, so musst du in der Rechnung den Betrag dieser Kraft mit einem Minuszeichen versehen. 

Bestimmung des Hebelarms im allgemeinen Fall

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Nur im geschilderten Sonderfall entspricht der Abstand vom Angriffspunkt \(\rm{P}\) einer Kraft zur Drehachse \(\rm{D}\) dem Hebelarm \(a\). Im Allgemeinen, wenn zum Beispiel der Hebel nicht waagerecht steht oder eine Kraft nicht senkrecht zum Hebel wirkt, bestimmst du den Hebelarm über den Abstand der Wirkungslinie der Kraft von der Drehachse. Der Hebelarm steht dabei immer senkrecht auf der Wirkungslinie (siehe Abb. 4).

Die Länge des Hebelarms \(a\) kannst du dabei entweder durch eine maßstabsgerechte Zeichnung oder mit trigonometrischen Überlegungen im rechtwinkligen Dreieck bestimmen. Den Hebelarm \(a_1\) in Abb. 4 berechnest du aus \[\cos(\gamma)=\frac{a_1}{\left| {\overline {{\rm{P_1 D}}}} \right|}\Rightarrow a_1=\cos(\gamma)\cdot \left| {\overline {{\rm{P_1 D}}}} \right|\]Hebelarm \(a_2\) berechnest du auf gleiche Art und Weise.

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Berechne den Betrag \(F_3\) der Kraft, die in Abb. 5 nötig ist, damit der Hebel mit den Kräften \(F_1=50\,\rm{N}\) und \(F_2=75\,\rm{N}\) im Gleichgewicht ist.

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Am Hebel in der Abbildung 6 wirken die drei Kräfte \({\vec F_1}\) mit \({{F_1} = 40\,{\rm{N}}}\), \({\vec F_2}\) mit \({{F_2} = 50\,{\rm{N}}}\) und \({\vec F_3}\) mit \({{F_3} = 100\,{\rm{N}}}\).

Bestimme in welchem Abstand \(\left| {\overline {{\rm{AD}}} } \right|\) der Angriffspunkt A der Kraft \({\vec F_3}\) vom Drehpunkt D liegen muss, damit am Hebel Gleichgewicht herrscht.
Tipp: Berechne zuerst die Länge \(a_3\) des notwendigen Hebelarms von \({\vec F_3}\) und bestimme dann zeichnerisch (oder mit Hilfe der Trigonometrie) den Abstand \(\left| {\overline {{\rm{AD}}} } \right|\).

Lösung

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Aus der Gleichgewichtsbedingung beim Hebel erhält man\[{F_3} \cdot {a_3} = {F_1} \cdot {a_1} + {F_2} \cdot {a_2} \Leftrightarrow {a_3} = \frac{{{F_1} \cdot {a_1} + {F_2} \cdot {a_2}}}{{{F_3}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{a_3} = \frac{{40{\rm{N}} \cdot 10{\rm{cm}} + 50{\rm{N}} \cdot 40{\rm{cm}}}}{{100{\rm{N}}}} = 24{\rm{cm}}\]Durch maßstäbliche Konstruktion des Dreiecks ADB ermittelt man für den gesuchten \(\left| {\overline {{\rm{AD}}} } \right| = 28\,{\rm{cm}}\). Zum gleichen Ergebnis für diesen Abstand kommt man durch trigonometrische Überlegungen im rechtwinkligen Dreieck ADB:\[\cos \left( {30^\circ } \right) = \frac{{{a_3}}}{{\left| {\overline {{\rm{AD}}} } \right|}} \Leftrightarrow \left| {\overline {{\rm{AD}}} } \right| = \frac{{{a_3}}}{{\cos \left( {30^\circ } \right)}}\]\[\Rightarrow \left| {\overline {{\rm{AD}}} } \right| = \frac{{24\,{\rm{cm}}}}{{\cos \left( {30^\circ } \right)}} = 28\,{\rm{cm}}\]

Was ist ein einseitiger Hebel Erklärung?

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