Was ist die Formel für ein Dreieck?

In diesem Kapitel lernen wir, den Flächeninhalt eines Dreiecks zu berechnen. Ein Dreieck ist eine geometrische Figur und Flächeninhalt ist der Fachbegriff für die Größe einer Fläche. Zur Fläche eines Dreiecks gehören alle Punkte, die auf der Begrenzungslinie und innerhalb des Dreiecks liegen.

• Allgemeines Dreieck
  • Herleitung 1
  • Herleitung 2
  • Herleitung 3
  • Formel
  • Anleitung
  • Beispiele
• Gleichschenkliges Dreieck
• Gleichseitiges Dreieck
• Rechtwinkliges Dreieck

Allgemeines Dreieck 

Herleitung 1 

Gegeben ist ein beliebiges Dreieck.

Wir suchen uns eine Seite des Dreiecks aus, die wir Grundseite $g$ nennen, und zeichnen die zu der Grundseite gehörende Höhe $h$ ein.

Die Höhe $h$ teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke. In einem rechtwinkligen Dreieck heißt die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, Hypotenuse.

Wir spiegeln die beiden rechtwinkligen Dreiecke jeweils an ihren Hypotenusen. Dadurch erhalten wir ein Rechteck mit dem Flächeninhalt $A = g \cdot h$ (Länge mal Breite).

Das ursprüngliche Dreieck ist genau halb so groß wie das Rechteck, weil in dem Rechteck die beiden rechtwinkligen Teildreiecke jeweils doppelt vorkommen.

Der Flächeninhalt des Dreiecks ist folglich:

$$ A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h $$

Herleitung 2 

Gegeben ist ein beliebiges Dreieck.

Wir suchen uns eine Seite des Dreiecks aus, die wir Grundseite $g$ nennen, und zeichnen die zu der Grundseite gehörende Höhe $h$ ein.

Danach zeichnen wir die Mittelsenkrechte der Höhe ein.

Die obere Hälfte des Dreiecks wird durch die Höhe und deren Mittelsenkrechte in zwei Dreiecke geteilt. Diese beiden Dreiecke klappen wir so um, dass sie die untere Hälfte des Dreiecks zu einem Rechteck ergänzen.

Da die Mittelsenkrechte die Höhe halbiert, gilt für den Flächeninhalt des Rechtecks:

$$ A = g \cdot \frac{1}{2}h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h $$ (Länge mal Breite)

Damit haben wir gleichzeitig die Formel für das ursprüngliche Dreieck gefunden, denn das Rechteck und das Dreieck sind flächengleich.

Herleitung 3 

Gegeben ist ein beliebiges Dreieck.

Wir suchen uns eine Seite des Dreiecks aus, die wir Grundseite $g$ nennen, und zeichnen die zu der Grundseite gehörende Höhe $h$ ein.

Danach zeichnen wir eine Gerade durch die Grundseite und eine Parallele durch den der Grundseite gegenüberliegenden Eckpunkt.

Wir kopieren das Dreieck, stellen es auf den Kopf und schieben die beiden Dreiecke so zusammen, dass ein Parallelogramm entsteht.

Wenn wir das kleine Teildreieck, das durch die Höhe $h$ abgetrennt wird,…

…auf die gegenüberliegende Seite des Parallelogramms verschieben, erhalten wir ein Rechteck, dessen Flächeninhalt sich nach der Formel $A = g \cdot h$ (Länge mal Breite) berechnet.

Das ursprüngliche Dreieck ist genau halb so groß wie das Rechteck, weil wir das Dreieck ja kopiert (verdoppelt) haben.

Der Flächeninhalt des Dreiecks ist folglich:

$$ A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h $$

Formel 

Flächenformel für ein allgemeines Dreieck:

$$ A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h $$

Abb. 14 / Allgemeines Dreieck 

Anmerkung

Neben der obigen Formel gibt es noch andere Möglichkeiten, den Flächeninhalt eines Dreiecks zu berechnen, z. B. mithilfe der Heron’schen Formel: $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$, wobei $s$ dem halben Umfang des Dreiecks, also $s = \frac{1}{2}(a + b + c)$, entspricht.

Anleitung 

Beispiele 

Beispiel 1 

Wie groß ist der Flächeninhalt eines Dreiecks mit $a = 4\ \textrm{cm}$ und $h_a = 2\ \textrm{cm}$?

Formel aufschreiben

$$ A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h $$

Werte für $\boldsymbol{g}$ und $\boldsymbol{h}$ einsetzen

$$ \phantom{A} = \frac{1}{2} \cdot 4\ \textrm{cm} \cdot 2\ \textrm{cm} $$

Ergebnis berechnen

$$ \begin{align*} \phantom{A} &= (\tfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2) (\textrm{cm} \cdot \textrm{cm}) \\[5px] &= 4\ \textrm{cm}^2 \end{align*} $$

Beispiel 2 

Wie groß ist der Flächeninhalt eines Dreiecks mit $b = 5\ \textrm{m}$ und $h_b = 3\ \textrm{m}$?

Formel aufschreiben

$$ A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h $$

Werte für $\boldsymbol{g}$ und $\boldsymbol{h}$ einsetzen

$$ \phantom{A} = \frac{1}{2} \cdot 5\ \textrm{m} \cdot 3\ \textrm{m} $$

Ergebnis berechnen

$$ \begin{align*} \phantom{A} &= (\tfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3) (\textrm{m} \cdot \textrm{m}) \\[5px] &= 7{,}5\ \textrm{m}^2 \end{align*} $$

Beispiel 3 

Wie groß ist der Flächeninhalt eines Dreiecks mit $c = 7\ \textrm{km}$ und $h_c = 6\ \textrm{km}$?

Formel aufschreiben

$$ A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h $$

Werte für $\boldsymbol{g}$ und $\boldsymbol{h}$ einsetzen

$$ \phantom{A} = \frac{1}{2} \cdot 7\ \textrm{km} \cdot 6\ \textrm{km} $$

Ergebnis berechnen

$$ \begin{align*} \phantom{A} &= (\tfrac{1}{2} \cdot 7 \cdot 6) (\textrm{km} \cdot \textrm{km}) \\[5px] &= 21\ \textrm{km}^2 \end{align*} $$

Anmerkung

• $g$ und $h$ müssen in der gleichen Einheit vorliegen. Eventuell ist ein Umrechnen erforderlich.
• Für manche Dreiecksarten gibt es zusätzlich weitere Formeln.

Gleichschenkliges Dreieck 

$$ A = \frac{1}{4} \cdot c \cdot \sqrt{4 \cdot a^2 - c^2} $$

Abb. 15 / Gleichschenkliges Dreieck 

Herleitung der Formel und Beispiele

Flächeninhalt eines gleichschenkligen Dreiecks

Gleichseitiges Dreieck 

$$ A = \frac{1}{4} \cdot a^2 \cdot \sqrt{3} $$

Abb. 16 / Gleichseitiges Dreieck 

Herleitung der Formel und Beispiele

Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks

Rechtwinkliges Dreieck 

$$ A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b $$

Abb. 17 / Rechtwinkliges Dreieck